Question

如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）當a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標；

（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最小？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵對稱軸為直線x=2，

∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）²+k．

將A（﹣1，0），C（0，5）代入得：

，解得，

∴y=﹣（x﹣2）²+9=﹣x²+4x+5．

（2）當a=1時，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE=1，OF=2．

設(shè)P（x，﹣x²+4x+5），

如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN=x，ON=﹣x²+4x+5，

∴MN=ON﹣OM=﹣x²+4x+4．

S_{四邊形MEFP}=S_梯形OFPN﹣S_△PMN﹣S_△OME

=（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE

=（x+2）（﹣x²+4x+5）﹣x•（﹣x²+4x+4）﹣×1×1

=﹣x²+x+

=﹣（x﹣）²+

∴當x=時，四邊形MEFP的面積有最大值為，此時點P坐標為（，）．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，

∴點P的縱坐標為3．

令y=﹣x²+4x+5=3，解得x=2±．

∵點P在第一象限，∴P（2+，3）．

四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．

如答圖3，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M₁（1，1）；

作點M₁關(guān)于x軸的對稱點M₂，則M₂（1，﹣1）；

連接PM₂，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM₂最�。�

設(shè)直線PM₂的解析式為y=mx+n，將P（2+，3），M₂（1，﹣1）代入得：

，解得：m=，n=﹣，

∴y=x﹣．

當y=0時，解得x=．∴F（，0）．

∵a+1=，∴a=．

∴a=時，四邊形PMEF周長最�。�