Question

如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CD，DM⊥BC，垂足為M．
（1）求∠E的度數(shù)．
（2）求證：M是BE的中點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）由等邊△ABC的性質(zhì)可得：∠ACB=∠ABC=60°，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得：∠E=∠CDE，最后根據(jù)外角的性質(zhì)可求∠E的度數(shù)；
（2）連接BD，由等邊三角形的三線合一的性質(zhì)可得：∠DBC=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，結(jié)合（1）的結(jié)論可得：∠DBC=∠E，然后根據(jù)等角對(duì)等邊，可得：DB=DE，最后根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得：M是BE的中點(diǎn)．

解答：（1）解：∵三角形ABC是等邊△ABC，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
又∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=

1

2

∠ACB=30°；
（2）證明：連接BD，

∵等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°
由（1）知∠E=30°
∴∠DBC=∠E=30°
∴DB=DE
又∵DM⊥BC
∴M是BE的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的有關(guān)性質(zhì)，重點(diǎn)考查了等邊三角形的三線合一的性質(zhì)．