Question

已知兩同心圓的圓心為O，過小圓上一點M作小圓的弦MA和大圓的弦BMC，且MA⊥BC，求證：AB²+BC²+CA²為定值．

Answer 1

證明：過O點作BC垂線，設(shè)垂足為D；作MA垂線，設(shè)垂足為E，
設(shè)MB=a，MC=b，MA=c，大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，
∵MA⊥BC，
∴AB²+AC²+BC²=（a²+c²）+（a²+b²）+（a+b）²=2（a²+b²+c²）+2ab，
∵OD⊥BC，OE⊥MA，
∴CD=（a+b），ME=，
∴在Rt△ODC中，[（a+b）]²+（）²=R²，
在Rt△OME中，[（b-a）]²+（）²=r²，
∴求得方程組：
解方程組的得：，
∴AB²+AC²+BC²=2（a²+b²+c²）+2ab=2（2R²+2r²）+2R²-2r²=6R²+2r²，
∴AB²+BC²+CA²為定值．
分析：如圖，首先根據(jù)題意畫出圖形，過O點作BC垂線，設(shè)垂足為D；作MA垂線，設(shè)垂足為E，設(shè)MB=a，MC=b，MA=c，由Rt△ODC和Rt△OME，推出方程組：，然后，把a²+b²+c²和2ab分別看做兩個整體，通過解方程組求出a²+b²+c²和2ab的值，最后通過等量代換即可推出AB²+AC²+BC²=6R²+2r²，為定值．
點評：本題主要考查勾股定理、垂徑定理，關(guān)鍵在于熟練運用相關(guān)的性質(zhì)定理，推出AB²+AC²+BC²=2（a²+b²+c²）+2ab，推出關(guān)于a²+b²+c²和2ab的方程組，解方程即可，正確地進行等量代換．