Question

已知兩同心圓的圓心為O，過小圓上一點M作小圓的弦MA和大圓的弦BMC，且MA⊥BC，求證：AB²+BC²+CA²為定值．

Answer 1

分析：如圖，首先根據題意畫出圖形，過O點作BC垂線，設垂足為D；作MA垂線，設垂足為E，設MB=a，MC=b，MA=c，由Rt△ODC和Rt△OME，推出方程組：

[ 1 2 (a+b)]2+( c 2 )2=R2①  [ 1 2 (b-a)]2+( c 2 )2=r2②

，然后，把a²+b²+c²和2ab分別看做兩個整體，通過解方程組求出a²+b²+c²和2ab的值，最后通過等量代換即可推出AB²+AC²+BC²=6R²+2r²，為定值．

解答：證明：過O點作BC垂線，設垂足為D；作MA垂線，設垂足為E，
設MB=a，MC=b，MA=c，大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，
∵MA⊥BC，
∴AB²+AC²+BC²=（a²+c²）+（a²+b²）+（a+b）²=2（a²+b²+c²）+2ab，
∵OD⊥BC，OE⊥MA，
∴CD=

1

2

（a+b），ME=

c

2

，
∴在Rt△ODC中，[

1

2

（a+b）]²+（

c

2

）²=R²，
在Rt△OME中，[

1

2

（b-a）]²+（

c

2

）²=r²，
∴求得方程組：

[ 1 2 (a+b)]2+( c 2 )2=R2①  [ 1 2 (b-a)]2+( c 2 )2=r2②

解方程組的得：

a2+b2+c2=2R2+ 2r2 2ab=2R2-2r2

，
∴AB²+AC²+BC²=2（a²+b²+c²）+2ab=2（2R²+2r²）+2R²-2r²=6R²+2r²，
∴AB²+BC²+CA²為定值．

點評：本題主要考查勾股定理、垂徑定理，關鍵在于熟練運用相關的性質定理，推出AB²+AC²+BC²=2（a²+b²+c²）+2ab，推出關于a²+b²+c²和2ab的方程組，解方程即可，正確地進行等量代換．