Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，

   ∠ACB=90°，點A，C的坐標分別為A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=．

（1）寫出點B的坐標；

（2）在x軸上找一點D，連接BD，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并

    求點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設(shè)AP=DQ=m，

    問是否存在這樣的m使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出的m值；

    如不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）B（1，3），           （1分）

（2）如圖1，過點B作BD⊥AB，交x軸于點D，

在Rt△ABC和Rt△ADB中，

∵∠BAC=∠DAB，

∴Rt△ABC∽Rt△ADB，

∴D點為所求，

又tan∠ADB=tan∠ABC=，

∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷，

∴OD=OC+CD=1+=，

∴D（ ，0）；              （4分）

 

（3）這樣的m存在．           

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，

如圖1，當PQ∥BD時，△APQ∽△ABD，

則=，

解得m=，               （6分）

如圖2，當PQ⊥AD時，△APQ∽△ADB，

則=，

解得m=．                        (9分)

故存在m的值是或時，使得△APQ與△ADB相似．（10分）