Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點O（0，0），A（4，0），B（2，-

4 3

3

），M是OA的中點．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)P是拋物線上的一點，過P作x軸的平行線與拋物線交于另一點Q，要使四邊形PQAM是菱形，求P點的坐標(biāo)；
（3）將拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得曲線OB′A（B′為B關(guān)于x軸的對稱點），在原拋物線x軸的上方部分取一點C，連接CM，CM與翻折后的曲線OB′A交于點D．若△CDA的面積是△MDA面積的2倍，這樣的點C是否存在？若存在求出C點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）由四邊形PQAM是菱形，可知PQ=2且PQ∥x軸，因此點P、Q關(guān)于對稱軸x=2對稱，可得點P橫坐標(biāo)為1，從而求出點P的坐標(biāo)；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點C．由△CDA的面積是△MDA面積的2倍，可得點C縱坐標(biāo)是點D縱坐標(biāo)的3倍，由此列方程求出點C的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線過原點，∴設(shè)其解析式為：y=ax²+bx．
∵拋物線經(jīng)過點A（4，0），B（2，-

4 3

3

），
∴

16a+4b=0 4a+2b=- 4 3 3

，解得

a= 3 3 b=- 4 3 3

，
∴二次函數(shù)解析式為：y=

3

3

x²-

4 3

3

x．

（2）∵y=

3

3

x²-

4 3

3

x=

3

3

（x-2）²-

4 3

3

，
∴拋物線對稱軸為直線：x=2．
∵四邊形PQAM是菱形，
∴PQ=MA=2，PQ∥x軸．
∴點P、Q關(guān)于對稱軸x=2對稱，
∴點P橫坐標(biāo)為1．
當(dāng)x=1時，y=

3

3

-

4 3

3

=-

3

．
∴P（1，-

3

）．
此時PM=2，符合要求．

（3）依題意，翻折之后的拋物線解析式為：y=-

3

3

x²+

4 3

3

x．
假設(shè)存在這樣的點C，
∵△CDA的面積是△MDA面積的2倍，
∴CD=2MD，∴CM=3MD．
如答圖所示，分別過點D、C作x軸的垂線，垂足分別為點E、點F，則有DE∥CF．

∴

DE

CF

=

ME

MF

=

MD

MC

，
∴CF=3DE，MF=3ME．
設(shè)C（x，

3

3

x²-

4 3

3

x），
則MF=x-2，ME=

1

3

MF=

1

3

（x-2），OE=ME+OM=

1

3

x+

4

3

∴D（

1

3

x+

4

3

，-

3

3

（

1

3

x+

4

3

）²+

4 3

3

（

1

3

x+

4

3

））．
∵CF=3DE，
∴

3

3

x²-

4 3

3

x=3[-

3

3

（

1

3

x+

4

3

）²+

4 3

3

（

1

3

x+

4

3

）]，
整理得：x²-4x-8=0，
解得：x₁=2+2

3

，x₂=2-2

3

．
∴y₁=

8 3

3

，y₂=

8 3

3

，
∴存在滿足條件的點C，點C的坐標(biāo)為（2+2

3

，

8 3

3

）或（2-2

3

，

8 3

3

）．

點評：本題為二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程、相似三角形、菱形、翻折變換等知識點．第（2）問中，解題關(guān)鍵是緊扣菱形的定義及二次函數(shù)的對稱性；第（3）問是存在型問題，解題關(guān)鍵得到點C縱坐標(biāo)是點D的3倍．