Question

如圖，△ABC中，BC=2，∠C=2∠A=45°，在AC邊上取一點O，以點O為圓心，OA為半徑的圓與AC邊相交于點D，⊙O經(jīng)過點B．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求CD的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連接OB，由OA=OB得∠A=∠OBA，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠BOC=2∠A，由于∠C=2∠A=45°，所以∠BOC=45°，于是得到∠OBC=90°，則可根據(jù)切線的判定定理得到BC是⊙O的切線；
（2）由∠C=∠BOC=45°，可判斷△OBC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OB=BC=2，OC=

2

BC=2

2

，所以CD=OC-OD=2

2

-2．

解答：（1）證明：連接OB，如圖，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠BOC=∠A+∠OBA=2∠A，
而∠C=2∠A=45°，
∴∠BOC=45°，
∴∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：∵∠C=∠BOC=45°，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴OB=BC=2，OC=

2

BC=2

2

，
∴CD=OC-OD=2

2

-2．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．