Question

已知，平面直角坐標(biāo)系中，A在x軸正半軸，B（0，1），AB=2．
（1）如圖1，求∠OAB的度數(shù)；
（2）如圖2，以AB為邊作等邊△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分線于D，求證：BD=OE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，DE交AB于F，求

DF

EF

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由條件可知AB=2OB，可知∠OAB=30°；
（2）連接OD，易證△ADO為等邊三角形，再證△ABD≌△AEO即可；
（3）作EH⊥AB于H，先證△ABO≌△AEH，得AO=EH，再證△AFD≌△EFH，可得DF=EF，可求得比值．

解答：（1）解：
在Rt△ABO中，AB=2，OB=1，
∴sin∠OAB=

OB

AB

=

1

2

，
∴∠OAB=30°；
（2）證明：連接OD，如圖1，

∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點(diǎn)D，
∴∠DAO=60°，
又DO=DA，
∴△ADO為等邊三角形．
∴DA=AO，
在△ABD和△AEO中

AD=AO ∠DAB=∠OAE AB=AE

∴△ABD≌△AEO（SAS），
∴BD=OE．
（3）證明：如圖2，作EH⊥AB于H．

∵AE=AB，BO=

1

2

AB，
∴AH=BO，
在Rt△ABO和Rt△AEH中，

AH=BO AE=AB

，
∴Rt△ABO≌Rt△AEH（HL），
∴AO=EH=AD．
又∠EHF=∠DAF=90°，
在△AFD和△EFH中，

∠EHF=∠DAF ∠EFH=∠DFA EH=AD

∴△AFD≌△EFH（AAS），
∴EF=DF，
∴

DF

EF

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題時(shí)注意構(gòu)造三角形全等從而找到線段相等是解題的關(guān)鍵，知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大．