【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+(a+4)x+a=0.
(1)求證:無論a為任何實數(shù),此方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)拋物線與x軸的一個交點的橫坐標為,其中a≠0,將拋物線C1向右平移個單位,再向上平移個單位,得到拋物線C2.求拋物線C2的解析式;
(3)點A(m,n)和B(n,m)都在(2)中拋物線C2上,且A、B兩點不重合,求代數(shù)式2m3﹣2mn+2n3的值.
【答案】(1)見解析;(2)y=2x2﹣3.(3).
【解析】
試題分析:(1)先求出判別式的值,根據(jù)△>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根,即可得出結(jié)論;
(2)將點(,0)代入拋物線C1解析式,得出a的值,從而確定C1解析式,根據(jù)平移的規(guī)律可得出拋物線C2的解析式;
(3)將點A(m,n)和B(n,m)代入拋物線C2的解析式,通過整理、化簡可得出代數(shù)式2m3﹣2mn+2n3的值.
(1)證明:∵△=(a+4)2﹣4×2a=a2+16,
而a2≥0,
∴a2+16>0,即△>0.
∴無論a為任何實數(shù),此方程總有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)∵當時,y=0,
∴2×()2+(a+4)×+a=0,
∴a2+3a=0,即a(a+3)=0,
∵a≠0,
∴a=﹣3.
∴拋物線C1的解析式為y=2x2+x﹣3=2(x+)2﹣,
∴拋物線C1的頂點為(﹣,﹣),
∴拋物線C2的頂點為(0,﹣3).
∴拋物線C2的解析式為y=2x2﹣3.
(3)∵點A(m,n)和B(n,m)都在拋物線C2上,
∴n=2m2﹣3,m=2n2﹣3,
∴n﹣m=2(m2﹣n2),
∴n﹣m=2(m﹣n)(m+n),
∴(m﹣n)[2(m+n)+1]=0,
∵A、B兩點不重合,即m≠n,
∴2(m+n)+1=0,
∴m+n=﹣,
∵2m2=n+3,2n2=m+3,
∴2m3﹣2mn+2n3=2m2m﹣2mn+2n2n=(n+3)m﹣2mn+(m+3)n=3(m+n)=.
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【題目】2014年8月26日,第二屆青奧會在南京舉行,甲、乙、丙、丁四位跨欄運動員在為該運動會積極準備.在某天“110米跨欄”訓練中,每人各跑5次,據(jù)統(tǒng)計,他們的平均成績都是13.2秒,甲、乙、丙、丁的成績的方差分別是0.11,0.03,0.05,0.02.則當天這四位運動員“110米跨欄”的訓練成績最穩(wěn)定的是________.
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【題目】如圖,將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到矩形AB′C′D′的位置,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),若∠1=110°,則∠α= .
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【題目】如圖,長方形ABCD中,E為BC中點,作∠AEC的角平分線交AD于F點.若AB=6,AD=16,則FD的長度為何?( )
A.4 B.5 C.6 D.8
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【題目】某農(nóng)場去年種植南瓜10畝,畝產(chǎn)量為2000kg,今年該農(nóng)場擴大了種植面積,并引進新品種,使總產(chǎn)量增長到60000kg.已知今年種植面積的增長率是今年平均畝產(chǎn)量增長率的2倍,求今年平均畝產(chǎn)量的增長率.
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【題目】在平面直角坐標系中,對于平面內(nèi)任一點(a,b),若規(guī)定以下三種變換:①△(a,b)=(-a,b);②○(a,b)=(-a,-b);③□(a,b)=(a,-b).按照以上變換,例如:△(○(1,2))=(1,-2),則○(□(3,4))=_______.
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【題目】關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1,(a,m,b均為常數(shù),a≠0),則方程a(x+m+2)2+b=0的解是 .
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E在AD上,EC平分∠BED.
(1)△BEC是否為等腰三角形?為什么?
(2)若AB=a,∠ABE=45°,求BC的長.
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