Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，且滿足6a-3b=2．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)S=PQ²（cm²）
①試求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
②當(dāng)S=時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）從圖上可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B點(diǎn)，結(jié)合已知條件可以求得A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出解析式；
（2）根據(jù)勾股定理和已知條件，可以求得PB、BQ的長度，即可求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式（0≤t≤1）；
（3）首先根據(jù)S的值，求出t的值，繼而求出P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分情況討論：假設(shè)存在這樣的R點(diǎn)，①R在BQ的右邊，②R在BQ的左邊③R在PB的下方，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出R點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，看能否使等式成立，能的話，這種情況就存在．
解答：解：（1）據(jù)題意知：拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，-2），點(diǎn)B（2，-2），
而且6a-3b=2
則，
解得，
∴拋物線的解析式為：；

（2）①由圖象知：PB=2-2t，BQ=t，
則S=PQ²=PB²+BQ²=（2-2t）²+t²，
即S=5t²-8t+4（0≤t≤1），
②假設(shè)存在點(diǎn)R，可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形．
∵S=5t²-8t+4（0≤t≤1），
∴當(dāng)S=時(shí)，5t²-8t+4=，
得20t²-32t+11=0，
解得t=，t=（不合題意，舍去），
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-）；
若R點(diǎn)存在，分情況討論：
[A]假設(shè)R在BQ的右邊，這時(shí)QRPB，則，R的橫坐標(biāo)為3，R的縱坐標(biāo)為-
即R（3，-），代入，左右兩邊相等，
∴這時(shí)存在R（3，-）滿足題意．
[B]假設(shè)R在BQ的左邊，這時(shí)PRQB，則：R的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為-，
即（1，-），代入，左右兩邊不相等，R不在拋物線上．
[C]假設(shè)R在PB的下方，這時(shí)PRQB，則：R（1，-）代入，，
左右不相等，
∴R不在拋物線上．
綜上所述，存在一點(diǎn)R（3，-）滿足題意．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定，根據(jù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)，平行四邊形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，本題關(guān)鍵在于求得解析式，結(jié)合圖形求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．