Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)A，對(duì)稱軸x=-2交x軸于點(diǎn)C，直線l過(guò)點(diǎn)N（0，-2），且與x軸平行，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥l于點(diǎn)M，△AOB的面積為2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)∠MPN=∠BAC時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）①求證PM=PC；

②若點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，2），直接寫出PQ+PC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（，）；（3）①見解析；②PQ+PC的最小值為4.

【解析】

（1）結(jié)合經(jīng)過(guò)原點(diǎn)以及頂點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行計(jì)算即可；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），將P點(diǎn)在y軸左和右分類討論解答.（3）①過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，則PD=x+2，DC=，結(jié)合（2），在Rt△PCD中運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可證明；②由①知，PM=PC，當(dāng)Q、P、M三點(diǎn)共線時(shí)， PQ+PC的最小值為PQ+PM的最小值，求出最小值即可.

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且對(duì)稱軸為x=-2，

∴c=0，OA=4，又△AOB的面積為2，

∴BC=1，即頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-1），

∴，，解得a=，b=1，

∴拋物線的解析式為；

（2）∵BC=1，AC=2，

∴tan∠BAC=，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），如答圖1，當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，PM=-（-2）=，MN=x，

∴tan∠MPN==，即，此方程無(wú)解；

如答圖2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)，此時(shí)PM=，MN=-x，

∴tan∠MPN==，即，解得，，則，，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（，）；

（3）①如答圖3，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，則PD=x+2，DC=，

由（2）知PM=，在Rt△PCD中，

PC2===PM2，

∴PM=PC；

②由①知，PM=PC，

∴PQ+PC的最小值為PQ+PM的最小值，當(dāng)Q、P、M三點(diǎn)共線時(shí)， PQ+PM=QM,

∵Q（0,2）,

∴QM=QN=4,

∴ PQ+PC的最小值為4．