Question

如圖，ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，U、V分別是AB、CD上的點(diǎn)，AV與DU相交于點(diǎn)P，BV與CU相交于點(diǎn)Q．求四邊形PUQV面積的最大值．

Answer 1

分析：連接UV，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，推出S_{四邊形PUQV}=S_△APD+S_△BQC，再利用面積公式求出面積，進(jìn)一步根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出四邊形PUQV面積的最大值．

解答：解：連接UV，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
根據(jù)等底等高的三角形的面積相等得到：S_△APD=S_△UVP，S_△QUV=S_△BQC，
∴S_{四邊形PUQV}=S_△APD+S_△BQC，
過(guò)P做PE⊥AD于E，過(guò)Q做QF⊥BC于F，
設(shè)：PE=x，QF=y，
∴S_{四邊形PUQV}=

1

2

（x+y），
設(shè)AU=a，DV=b，
則

x

a

+

x

b

=DE+AE=1，
故x=

ab

a+b

，
同理y=

(1-a)(1-b)

(1-a)+(1-b)

=

(1-a)(1-b)

2-a-b

，
∴S_{四邊形PUQV}=

1

2

[

ab

a+b

+

(1-a)(1-b)

2-a-b

]，
=

(a+b)-(a2+b2)

2(a+b)(2-a-b)

=

2(a+b)-a2-b2-(a2+b2)

4(a+b)(2-a-b)

≤

2(a+b)-a2-b2-2ab

4(a+b)(2-a-b)

=

(a+b)(2-a-b)

4(a+b)(2-a-b)

=

1

4

（因?yàn)椋╝-b）²≥0）²+b，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立，
故四邊形PUQV面積最大值是

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了面積及等積變換，三角形的面積不等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是利用不等式的性質(zhì)求最大值，此題難度較大．