【題目】如圖,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=3cm,過點(diǎn)A作∠EAF=60°,分別交DC,BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F,連接EF.
(1)如圖1,當(dāng)CE=CF時(shí),判斷△AEF的形狀,并說明理由;
(2)若△AEF是直角三角形,求CE,CF的長(zhǎng)度;
(3)當(dāng)CE,CF的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí),△CEF的面積是否會(huì)發(fā)生變化,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1) △AEF是等邊三角形,證明見解析;(2) CF=,CE=6或CF=6,CE=;(3) △CEF的面積不發(fā)生變化,理由見解析.
【解析】
(1)證明△BCE≌△DCF(SAS),得出∠BE=DF,CBE=∠CDF,證明△ABE≌△ADF(SAS),得出AE=AF,即可得出結(jié)論;
(2)分兩種情況:①∠AFE=90°時(shí),連接AC、MN,證明△MAC≌△NAD(ASA),得出AM=AN,CM=DN,證出△AMN是等邊三角形,得出AM=MN=AN,設(shè)AM=AN=MN=m,DN=CM=b,BM=CN=a,證明△CFN∽△DAN,得出,得出FN=,AF=m+,同理AE=m+,在Rt△AEF中,由直角三角形的性質(zhì)得出AE=2AF,得出m+=2(m+),得出b=2a,因此,得出CF=AD=,同理CE=2AB=6;
②∠AEF=90°時(shí),同①得出CE=AD=,CF=2AB=6;
(3)作FH⊥CD于H,如圖4所示:由(2)得BM=CN=a,CM=DN=b,證明△ADN∽△FCN,得出,由平行線得出∠FCH=∠B=60°,△CEM∽△BAM,得出,得出,求出CF×CE=AD×AB=3×3=9,由三角函數(shù)得出CH=CF×sin∠FCH=CF×sin60°=CF,即可得出結(jié)論.
解:(1)△AEF是等邊三角形,理由如下:
連接BE、DF,如圖1所示:
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=DC=AD,∠ABC=∠ADC,
在△BCE和△DCF中,,
∴△BCE≌△DCF(SAS),
∴∠BE=DF,CBE=∠CDF,
∴∠ABC+∠CBE=∠ADC+∠CDF,
即∠ABE=∠ADF,
在△ABE和△ADF中,,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴AE=AF,又∵∠EAF=60°,
∴△AEF是等邊三角形;
(2)分兩種情況:
①∠AFE=90°時(shí),連接AC、MN,如圖2所示:
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=DC=AD=3,∠D=∠B=60°,AD∥BC,AB∥CD,
∴△ABC和△ADC是等邊三角形,
∴AC=AD,∠ACM=∠D=∠CAD=60°=∠EAF,
∴∠MAC=∠NAD,
在△MAC和△NAD中,,
∴△MAC≌△NAD(ASA),
∴AM=AN,CM=DN,
∵∠EAF=60°,
∴△AMN是等邊三角形,
∴AM=MN=AN,
設(shè)AM=AN=MN=m,DN=CM=b,BM=CN=a,
∵CF∥AD,
∴△CFN∽△DAN,
∴,
∴FN=,
∴AF=m+,
同理:AE=m+,
在Rt△AEF中,∵∠EAF=60°,
∴∠AEF=30°,
∴AE=2AF,
∴m+=2(m+),
整理得:b2﹣ab﹣2a2=0,
(b﹣2a)(b+a)=0,
∵b+a≠0,
∴b﹣2a=0,
∴b=2a,
∴=,
∴CF=AD=,
同理:CE=2AB=6;
②∠AEF=90°時(shí),連接AC、MN,如圖3所示:
同①得:CE=AD=,CF=2AB=6;
(3)當(dāng)CE,CF的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí),△CEF的面積不發(fā)生變化;理由如下:
作FH⊥CD于H,如圖4所示:
由(2)得:BM=CN=a,CM=DN=b,
∵AD∥CF,
∴△ADN∽△FCN,
∴,
∵CE∥AB,
∴∠FCH=∠B=60°,△CEM∽△BAM,
∴,
∴,
∴CF×CE=AD×AB=3×3=9,
∵CH=CF×sin∠FCH=CF×sin60°=CF,
△CEF的面積=CE×FH=CE×CF=×9×=,∴△CEF的面積是定值,不發(fā)生變化.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足,那么稱這樣的三角形為“類直角三角形”.
嘗試運(yùn)用
(1)如圖1,在中,,,,是的平分線.
①證明是“類直角三角形”;
②試問在邊上是否存在點(diǎn)(異于點(diǎn)),使得也是“類直角三角形”?若存在,請(qǐng)求出的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
類比拓展
(2)如圖2,內(nèi)接于,直徑,弦,點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn),),延長(zhǎng)至點(diǎn),連結(jié),且,當(dāng)是“類直角三角形”時(shí),求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)興趣小組研究某型號(hào)冷柜溫度的變化情況,發(fā)現(xiàn)該冷柜的工作過程是:當(dāng)溫度達(dá)到設(shè)定溫度時(shí),制冷停止,此后冷柜中的溫度開始逐漸上升,當(dāng)上升到時(shí),制冷開始,溫度開始逐漸下降,當(dāng)冷柜自動(dòng)制冷至時(shí),制冷再次停止,……,按照以上方式循環(huán)進(jìn)行.
同學(xué)們記錄了44內(nèi)15個(gè)時(shí)間點(diǎn)冷柜中的溫度隨時(shí)間的變化情況,制成下表:
(1)通過分析發(fā)現(xiàn),冷柜中的溫度是時(shí)間的函數(shù).
①當(dāng)時(shí),寫出一個(gè)符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式 ;
②當(dāng)時(shí),寫出一個(gè)符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式 ;
(2)的值為 ;
(3)如圖,在直角坐標(biāo)系中,已描出了上表中部分?jǐn)?shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),請(qǐng)描出剩余對(duì)應(yīng)的點(diǎn),并畫出時(shí)溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)圖象.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】六一兒童節(jié),小文到公園游玩.看到公園的一段人行彎道MN(不計(jì)寬度),如圖,它與兩面互相垂直的圍墻OP、OQ之間有一塊空地MPOQN(MP⊥OP,NQ⊥OQ),他發(fā)現(xiàn)彎道MN上任一點(diǎn)到兩邊圍墻的垂線段與圍墻所圍成的矩形的面積都相等,比如:A、B、C是彎道MN上的三點(diǎn),矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面積相等.愛好數(shù)學(xué)的他建立了平面直角坐標(biāo)系(如圖),圖中三塊陰影部分的面積分別記為S1、S2、S3,并測(cè)得S2=6(單位:平方米).OG=GH=HI.
(1)求S1和S3的值;
(2)設(shè)T(x,y)是彎道MN上的任一點(diǎn),寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)公園準(zhǔn)備對(duì)區(qū)域MPOQN內(nèi)部進(jìn)行綠化改造,在橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是偶數(shù)的點(diǎn)處種植花木(區(qū)域邊界上的點(diǎn)除外),已知MP=2米,NQ=3米.問一共能種植多少棵花木?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=kx,y=,y=的圖象如圖所示,下列判斷正確的有_____.(填序號(hào))①k,a,b都是正數(shù);②函數(shù)y=與y=的圖象會(huì)出現(xiàn)四個(gè)交點(diǎn);③A,D兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;④若B是OA的中點(diǎn),則a=4b.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,O為對(duì)角線AC的中點(diǎn),點(diǎn)P、Q分別從A和B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),在邊AB和BC上勻速運(yùn)動(dòng),并且同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)B、C,連接PO、QO并延長(zhǎng)分別與CD、DA交于點(diǎn)M、N.在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,圖中陰影部分面積的大小變化情況是( )
A. 一直增大 B. 一直減小 C. 先減小后增大 D. 先增大后減小
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一個(gè)直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn).是邊上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合),沿著折疊該紙片,得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在第一象限,且滿足時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖2,當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求的長(zhǎng);
(3)當(dāng)時(shí),直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),連接,的面積為2.點(diǎn)的坐標(biāo)為.若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),交雙曲線的另一支于點(diǎn),交軸點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)若為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且的面積為5,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線與x軸、y軸相交于P、Q兩點(diǎn),與的圖象相交于兩點(diǎn),連接OA,OB,給出下列結(jié)論:①;②;③;④不等式的解集是或,其中正確的是( )
A.②③B.③④C.①②③④D.②③④
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