Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣，經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣；（2）P（2，﹣）；（3）符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，﹣）、（2+，）或（2﹣，）．

【解析】

試題分析：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx﹣，列出a和b的二元一次方程組，求出a和b的值即可；

（2）首先求出拋物線的對(duì)稱軸，連接BC，然后設(shè)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），求出k和b的值，把x=2代入一次函數(shù)解析式，求出y的值即可；

（3）①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，直接求出N點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作ND垂直x軸于點(diǎn)D，先求出N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，進(jìn)而求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，即可解答．

解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx﹣，

得到，

解得，

即拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣；

（2）∵拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣，

∴其對(duì)稱軸為直線x=﹣=﹣=2，

連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣），

∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣，

當(dāng)x=2時(shí)，y=1﹣=﹣，

∴P（2，﹣）；

（3）存在，

如圖2所示，

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，C（0，﹣），

∴N1（4，﹣）；

②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作ND垂直x軸于點(diǎn)D，

在△AND與△MCO中，

∵，

∴△AND≌△MCO（ASA），

∴ND=OC=，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∴x2﹣2x﹣=，

解得x=2±，

∴N2（2+，），N3（2﹣，），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，﹣）、（2+，）或（2﹣，）．