Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到C時，兩點都停止．設(shè)運動時間為t秒．
（1）求線段CD的長；
（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S_△CPQ：S_△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（3）當(dāng)t為何值時，△CPQ為等腰三角形？

Answer 1

考點：相似形綜合題,一元二次方程的應(yīng)用,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）利用勾股定理可求出AB長，再用等積法就可求出線段CD的長．
（2）過點P作PH⊥AC，垂足為H，通過三角形相似即可用t的代數(shù)式表示PH，從而可以求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；利用S_△CPQ：S_△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解決問題．
（3）可分三種情況進行討論：由CQ=CP可建立關(guān)于t的方程，從而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到關(guān)于t的方程，可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似，即可建立關(guān)于t的方程，從而求出t．

解答：解：（1）如圖1，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S_△ABC=

1

2

BC?AC=

1

2

AB?CD．
∴CD=

BC?AC

AB

=

6×8

10

=4.8．
∴線段CD的長為4.8．
（2）①過點P作PH⊥AC，垂足為H，如圖2所示．
由題可知DP=t，CQ=t．
則CP=4.8-t．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴

PH

AC

=

PC

AB

．
∴

PH

8

=

4.8-t

10

．
∴PH=

96

25

-

4

5

t．
∴S_△CPQ=

1

2

CQ?PH=

1

2

t（

96

25

-

4

5

t）=-

2

5

t²+

48

25

t．
②存在某一時刻t，使得S_△CPQ：S_△ABC=9：100．
∵S_△ABC=

1

2

×6×8=24，
且S_△CPQ：S_△ABC=9：100，
∴（-

2

5

t²+

48

25

t）：24=9：100．
整理得：5t²-24t+27=0．
即（5t-9）（t-3）=0．
解得：t=

9

5

或t=3．
∵0≤t≤4.8，
∴當(dāng)t=

9

5

秒或t=3秒時，S_△CPQ：S_△ABC=9：100．
（3）①若CQ=CP，如圖1，
則t=4.8-t．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如圖2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH=

1

2

QC=

t

2

．
∵△CHP∽△BCA．
∴

CH

BC

=

CP

AB

．
∴

t 2

6

=

4.8-t

10

．
解得：t=

144

55

．
③若QC=QP，
過點Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．
同理可得：t=

24

11

．
綜上所述：當(dāng)t為2.4秒或

144

55

秒或

24

11

秒時，△CPQ為等腰三角形．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用、勾股定理等知識，具有一定的綜合性，而利用等腰三角形的三線合一巧妙地將兩腰相等轉(zhuǎn)化為底邊上的兩條線段相等是解決第三小題的關(guān)鍵．

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