【題目】如圖點A(a,0)在x軸負半軸,點B(b,0)在x軸正半軸,點C(0,c)在y軸正半軸,且.
(1)如圖1,求S△ABC;
(2)如圖2,若點D(0,5),BD的延長線交AC于E,求∠AEB;
(3)如圖3,在(2)的條件下,將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°至線段BF,連接EF,試探究EA,EB,EF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1);(2)45°;(3),證明詳見解析
【解析】
(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到a=﹣3,b=2,c=7,于是得到點A(﹣3,0),點B(2,0),點C(0,7),求得OA=3,OB=2,OC=7,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)勾股定理得到AC==,過C作CH∥BD交x軸于H,求得直線BD的解析式為:yBD=﹣x+2,得到直線CH的解析式為yCH=﹣x+7,求得H(,0),得到OH=,根據(jù)勾股定理得到CH==,過A作AM⊥CH于M,根據(jù)三角形的面積公式得到AM=,根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得到∠CAM=∠ACM=45°,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABF是等腰直角三角形,得到AB=BF,∠ABF=90°,把△EBF繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ,推出△EBQ是等腰直角三角形,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.
解:(1)∵+(b﹣2)2+|c﹣7|=0,
∴a+3=0,b﹣2+0,c﹣7=0,
∴a=﹣3,b=2,c=7,
∴點A(﹣3,0),點B(2,0),點C(0,7),
∴OA=3,OB=2,OC=7,
∴S△ABC=ABOC=×5×7=;
(2)∵AC==,
∵點D(0,5),
∴BD=,
如圖,過C作CH∥BD交x軸于H,
∵點B(2,0),點D(0,5),
∴直線BD的解析式為:yBD=﹣x+2,
∴直線CH的解析式為yCH=﹣x+7,
當y=0時,x=,
∴H(,0),
∴OH=,
∴CH==,
過A作AM⊥CH于M,
∵S△ACH=AHOC=CHAM,
∴AM×=×7,
∴AM=,
∴CM==,
∴AM=CM,
∴∠CAM=∠ACM=45°,
∵BE∥CH,
∴∠AEB=∠ACH=45°;
(3)∵將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°至線段BF,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∴AB=BF,∠ABF=90°,
如圖3,把△EBF繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ,
∴△EBQ是等腰直角三角形,
∴∠QEB=45°,EF=AQ,
∴∠AEQ=90°,
∴EF2=AQ2=AE2+EQ2=AE2+2BE2,
故答案為:.
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【題目】如圖,在△ABC中,BC=3,AC=5,∠B=45°,則下面結(jié)論正確的是_____.
①∠C一定是鈍角;
②△ABC的外接圓半徑為3;
③sinA=;
④△ABC外接圓的外切正六邊形的邊長是.
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【題目】已知點A,B在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上,它們的橫坐標分別為m,n,且m≠n,過點A,點B都向x軸,y軸作垂線段,其中兩條垂線段的交點為C.
(1)如圖,當m=2,n=6時,直接寫出點C的坐標:
(2)若A(m,n),B(n,m).連接OA、OB、AB,求△AOB的面積:(用含m的代數(shù)式表示)
(3)設AD⊥y軸于點D,BE⊥x軸于點E.若,且,則當點C在直線DE上時,求p的取值范圍.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,AE和過點C的切線互相垂直,垂足為E,AE交⊙O于點D,直線EC交AB的延長線于點P,連接AC,BC.
(1)求證:AC平分∠BAD;
(2)若AB=6,AC=4,求EC和PB的長.
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【題目】如圖1,在△ABC中,點D為AB的中點,過點D作DE∥BC交AC于E.
(1)求證:E為AC的中點;
(2)如圖2,過點D作QD⊥AB交BC的延長線于Q,過點E作EP⊥AC交CB的延長線于P,連AP、AQ.若PQ=12,AP+AQ=20,求DE的長.
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2+(k-1)x-2k-3.
(1)求證:該二次函數(shù)圖像與x軸總有兩個公共點;
(2)若點A(-1,y1)、B(1,y2)在該二次函數(shù)的圖像上,且y1>y2,求k的取值范圍.
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【題目】列分式方程解應用題:
某學校準備組織部分學生到少年宮參加活動,陳老師從少年宮帶回來兩條信息:
信息一:按原來報名參加的人數(shù),共需要交費用320元,如果參加的人數(shù)能夠增加到原來人數(shù)的2倍,就可以享受優(yōu)惠,此時只需交費用480元;
信息二:如果能享受優(yōu)惠,那么參加活動的每位同學平均分攤的費用比原來少4元.
根據(jù)以上信息,原來報名參加的學生有多少人?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2).把一條長為2016個單位長度且沒有彈性的細線(線的粗細忽略不計)的一端固定在點A處,并按A-B-C-D…的規(guī)律繞在ABCD的邊上,則細線另一端所在位置的點的坐標是( )
A. (0,-2) B. (-1,-1) C. (-1,0) D. (1,-2)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系上有點,點第一次跳動至點,第二次點跳動至點,第三次點跳動至點,第四次點跳動至點,……依此規(guī)律跳動下去,則點與點之間的距離是( )
A. 2021B. 2020C. 2019D. 2018
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