Question

【題目】如圖點(diǎn)A（a，0）在x軸負(fù)半軸，點(diǎn)B（b，0）在x軸正半軸，點(diǎn)C（0，c）在y軸正半軸，且．

（1）如圖1，求S△ABC；

（2）如圖2，若點(diǎn)D（0，5），BD的延長(zhǎng)線交AC于E，求∠AEB；

（3）如圖3，在（2）的條件下，將線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段BF，連接EF，試探究EA，EB，EF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）45°；（3），證明詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a＝﹣3，b＝2，c＝7，于是得到點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)C（0，7），求得OA＝3，OB＝2，OC＝7，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理得到AC＝＝，過(guò)C作CH∥BD交x軸于H，求得直線BD的解析式為：yBD＝﹣x+2，得到直線CH的解析式為yCH＝﹣x+7，求得H（，0），得到OH＝，根據(jù)勾股定理得到CH＝＝，過(guò)A作AM⊥CH于M，根據(jù)三角形的面積公式得到AM＝，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得到∠CAM＝∠ACM＝45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABF是等腰直角三角形，得到AB＝BF，∠ABF＝90°，把△EBF繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ，推出△EBQ是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解：（1）∵+（b﹣2）2+|c﹣7|＝0，

∴a+3＝0，b﹣2+0，c﹣7＝0，

∴a＝﹣3，b＝2，c＝7，

∴點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)C（0，7），

∴OA＝3，OB＝2，OC＝7，

∴S△ABC＝ABOC＝×5×7＝；

（2）∵AC＝＝，

∵點(diǎn)D（0，5），

∴BD＝，

如圖，過(guò)C作CH∥BD交x軸于H，

∵點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)D（0，5），

∴直線BD的解析式為：yBD＝﹣x+2，

∴直線CH的解析式為yCH＝﹣x+7，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，

∴H（，0），

∴OH＝，

∴CH＝＝，

過(guò)A作AM⊥CH于M，

∵S△ACH＝AHOC＝CHAM，

∴AM×＝×7，

∴AM＝，

∴CM＝＝，

∴AM＝CM，

∴∠CAM＝∠ACM＝45°，

∵BE∥CH，

∴∠AEB＝∠ACH＝45°；

（3）∵將線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段BF，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴AB＝BF，∠ABF＝90°，

如圖3，把△EBF繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ，

∴△EBQ是等腰直角三角形，

∴∠QEB＝45°，EF＝AQ，

∴∠AEQ＝90°，

∴EF2＝AQ2＝AE2+EQ2＝AE2+2BE2，

故答案為：．