Question

【題目】已知：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC；

（2）設(shè)△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由；

（4）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝﹣t2+6t．（3）不存在t的值使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分；（4）t＝s

【解析】

（1）只要證明△APQ∽△ABC，可得=，構(gòu)建方程即可解決問題；（2）過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，則有△APE∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問題；（3）由題意可求Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積，當(dāng)線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)平分，可得AP+AQ＝×24＝12，可求t的值，代入y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，可求出y≠12，則不存在t的值使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分；（4）連接P'P交AC于點(diǎn)O，由△APO∽△ABC，可得=，即=，可得AO＝，由菱形的性質(zhì)可得OQ＝OC，構(gòu)建方程即可解決問題．

解：（1）在Rt△ABC中，AB＝ ＝＝10（cm），

∵點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；

∴BP＝t，AQ＝2t，則AP＝10﹣t，

∵PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴=

∴=

∴t＝

∴當(dāng)t＝s時(shí)，PQ∥BC．

（2）如圖，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，

∵PE⊥AC，BC⊥AC，

∴PE∥BC，

∴△APE∽△ABC，

∴=，

∴=，

∴PE＝6﹣t，

∴y＝×2t×（6﹣t）＝﹣t2+6t．

（3）∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm，

∴△ABC的周長(zhǎng)為24cm，△ABC的面積為24cm2，

∵線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)平分，

∴AP+AQ＝×24＝12，

∴10﹣t+2t＝12，

∴t＝2，

當(dāng)t＝2時(shí)，y＝﹣×4+12≠×24，

∴不存在t的值使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．

（4）如圖，連接P'P交AC于點(diǎn)O，

∵四邊形PQP′C為菱形

∴PO⊥AC，OQ＝OC，

∴PO∥BC，

∴△APO∽△ABC，

∴=，，

∴=，，

∴AO＝ ，

∵OQ＝OC，

∴AO﹣AQ＝AC﹣AO，

∴2×﹣2t＝8，

∴t＝，

∴當(dāng)t＝s時(shí)，四邊形PQP′C為菱形．