Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，過對角線AC中點O的直線分別交邊BC、AD于點E、F

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）如圖2，當EF⊥AC時，求EF的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF=．

【解析】

（1）證明△AOF≌△COE全等，可得AF=EC，∵AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）由（1）知四邊形AECF是平行四邊形，且EF⊥AC，∴四邊形AECF為菱形，假設BE=a，根據(jù)勾股定理求出a，從而得知EF的長度；

解：（1）∵矩形ABCD，∴AF∥EC，AO=CO

∴∠FAO=∠ECO

∴在△AOF和△COE中，，

∴△AOF≌△COE（ASA）

∴AF=EC

又∵AF∥EC

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）由（1）知四邊形AECF是平行四邊形，

∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF為菱形，

設BE=a，則AE=EC=3-a

∴a2+22=（3-a）2

∴a=

則AE=EC=，

∵AB=2，BC=3，

∴AC==

∴AO=OC=，

∴OE===，

∴EF=2OF=．