Question

有兩塊相同的直角三角板如圖1般放置，其中∠B=60°，∠F=30°，將△ABD繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB₁D₁，AD₁交FM于點(diǎn)K（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°），當(dāng)△AFK的等腰三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DAD₁=β，然后分類討論：當(dāng)KA=KF時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠KAF=∠F=30°，利用互余得∠DAD₁=60°，即β=60°；當(dāng)FA=FK時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠KAF=

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（180°-∠F）=75°，則∠DAD₁=90°-∠KAF=15°，即β=15°，由此得到旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)為15°或60°．

解答：解：∵△ABD繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB₁D₁，
∴∠DAD₁=β，
當(dāng)KA=KF時(shí)，則∠KAF=∠F=30°，
∴∠DAD₁=90°-∠KAF=60°，
即β=60°；
當(dāng)FA=FK時(shí)，∴∠KAF=∠AKF，
∵∠K=30°，
∴∠KAF=

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（180°-30°）=75°，
∴∠DAD₁=90°-∠KAF=15°，
即β=15°，
綜上所述，旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)為15°或60°．
故答案為：15°或60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．