Question

在線段AB上任意選取一點(diǎn)M，在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF，這兩個正方形的外接圓的圓心分別為點(diǎn)P、Q，設(shè)這兩個外接圓又交于點(diǎn)M、N．
（a）求證：線段AF、BC相交于點(diǎn)N；
（b）求證：不論點(diǎn)M如何選取，直線MN都通過一定點(diǎn)S；
（c）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A、B之間變動時(shí)，求線段PQ的中點(diǎn)的軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,梯形中位線定理,圓周角定理,平行線分線段成比例

專題：綜合題

分析：（a）如圖1，可先證明點(diǎn)N、A、F共線，再證明點(diǎn)N、B、C共線，就可解決問題．
（b）如圖2，易得∠ANM=∠MNB=45°，即射線NM平分∠ANB，根據(jù)圓周角定理得到NM的延長線通過直徑為AB的下半圓周的中點(diǎn)S．
（c）設(shè)PP′，QQ′和RR′分別是過P，Q和線段PQ的中點(diǎn)R到AB的垂線段，如圖3，則有PP′∥QQ′∥RR′．根據(jù)平行線分線段成比例可得R′是P′Q′的中點(diǎn)，根據(jù)梯形中位線定理可得RR′=

AB

4

，即R到AB的距離是常值．然后考慮點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B兩個臨界位置，就可解決問題．

解答：解：（a）證明：連接AN、NF、BC、MN、NB和NC，如圖1，

則∠ANM=∠ADM=45°，∠MNF=180°-∠MBF=135°，
所以∠ANF=∠ANM+∠MNF=45°+135°=180°，
所以點(diǎn)N、A、F共線．
∵AC是⊙P的直徑，∴∠ANC=90°．
∵∠ANB=∠ANM+∠MNB═45°+45°=90°，
∴點(diǎn)C、B、N共線，
∴AF和BC交于N．
（b）證明：如圖2，

∵∠ANM=∠MNB=45°即射線NM平分∠ANB，
∴NM的延長線通過直徑為AB的下半圓周的中點(diǎn)S．
（c）設(shè)PP′，QQ′和RR′分別是過P，Q和線段PQ的中點(diǎn)R到AB的垂線段，如圖3，

則PP′∥QQ′∥RR′．
∵R為PQ的中點(diǎn)，∴R′是P′Q′的中點(diǎn)，
∴RR′=

1

2

（PP′+QQ′）=

1

2

（

1

2

AM+

1

2

MB）=

AB

4

，
即R到AB的距離是常值，
所以點(diǎn)R的運(yùn)動路徑是平行于線段AB且與AB的距離為

AB

4

的一條線段．
當(dāng)M到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P′到點(diǎn)A，此時(shí)AQ′=

AB

2

，AR′=

AB

4

．
當(dāng)M到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q′到點(diǎn)B，此時(shí)P′B=

AB

2

，R′B=

AB

4

．
因而R的軌跡長為AB-

AB

4

-

AB

4

=

AB

2

．
所以線段PQ的中點(diǎn)的軌跡是平行于線段AB且與AB的距離為

AB

4

的一條長為

AB

2

的線段．

點(diǎn)評：這是一道第一屆（1959年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克試題，主要考查了圓周角定理、平行線分線段成比例、梯形的中位線定理等知識，確定動點(diǎn)的軌跡以及動點(diǎn)運(yùn)動的起點(diǎn)和終點(diǎn)是求動點(diǎn)軌跡長的關(guān)鍵．