Question

等邊△ABC中，D為AB中點，E為BC上一點，以DE為邊作等邊△DEF，連接CF、AF．
（1）求證：FE=FC；
（2）當∠DAF=90°，CE=1時，求BE的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：計算題,證明題

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，借助于等邊三角形的性質(zhì)和圓的定義來解決；
（2）畫出圖2，過A、D分別作AI⊥BC，DH⊥BC，借助于平行線分線段成比例定理和全等三角形的判定和性質(zhì)進行分析求解即可．

解答：（1）證明：如圖1，連接CD，
∵D為AB中點，
∴CD平分∠ACB，∠DCE=

1

2

∠ACB=30°，
作FG⊥DE于G，則FG為DE垂直平分線，
∴∠DCE=30°=

1

2

∠DFE，
∴F為△CDE外接圓圓心，
∴FE=FC；
（2）解：如圖2，
過A、D分別作AI⊥BC，DH⊥BC，其垂足分別為I、H，
∵△ABC為等邊三角形，AI⊥BC，
∴AI垂直平分BC，
∴BI=

1

2

BC，
∵∠ADF+60°+∠BDE=180°，∠BED+60°+∠BDE=180°，
∴∠ADF=∠BED，
在△ADF和△DEB中，

∠ADF=∠BFD   ∠DAF=∠DHE   DF=DE

，
∴△ADF≌△HED（AAS），
∴HE=AD=

1

2

AB=

1

2

BC，
∵DH⊥BC，AI⊥BC，
∴DH∥AI，
∵△ABI中，D為AB中點，DH∥AI，
∴BH=

1

2

BI=

1

4

BC，
BC=CE+HE+BH=1+

1

2

BC+

1

4

BC，
∴BC=4，
∴BE=4-1=3．

點評：該題目考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線是解答的關(guān)鍵．