Question

【題目】如圖所示，在中，，垂足為，平分，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，連接、、、，．

（1）若，，求和的長(zhǎng)．

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1）BE=3，；（2）證明見解析

【解析】

（1）要求BE的長(zhǎng)，在Rt△ABE中，利用勾股定理計(jì)算時(shí)，已經(jīng)知道了AE的長(zhǎng)，必須先求出AB的長(zhǎng)，而在中，AB=CD,所以要求出CD的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的的性質(zhì)和DE平分，還有F是EC的中點(diǎn)，易證明，這樣就可求出BE的值；而要求FG的長(zhǎng)，只要通過(guò)證明，得到CG=CF，由（1）中，得到點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，從而可得FG是△EDC的中位線，利用中位線的性質(zhì)，在利用勾股定理求出線段DE的前提下易求出FG的值；

（2）延長(zhǎng)AG與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H ,由（1）中得，只要證明即可．

（1）∵四邊形為平行四邊形，∴，，．∴．

∵平分，∴，∴．∴．

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴．

在中，由勾股定理得，∴．

在中，由勾股定理得．

∵，，，∴．∴．∴，∴是的中位線．∴．

（2）證明：如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

∵，∴，．

∵，∴．∴．

∵，∴．∴．

∵，∴，∴．

∵，∴．