【題目】(1)如圖1,O是等邊△ABC內(nèi)一點,連接OA、OB、OC,且OA=3,OB=3,OC=5,將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,連接OD.求:
①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);
②線段OD的長;
③∠BDC的度數(shù).
(2)如圖2所示,O是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)內(nèi)一點,連接OA、OB、OC,將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,連接OD.當(dāng)OA、OB、OC滿足什么條件時,∠ODC=90°?請給出證明.
【答案】(1)①60°;②OD=OB=4;③150°;(2)當(dāng)OA、OB、OC滿足OA2+2OB2=OC2時,∠ODC=90°.
【解析】
試題分析:(1)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BA=BC,∠ABC=60°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBD=∠ABC=60°,于是可確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°;
②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BD,加上∠OBD=60°,則可判斷△OBD為等邊三角形,所以O(shè)D=OB=4;
③由△BOD為等邊三角形得到∠BDO=60°,再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=AO=3,然后根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△OCD為直角三角形,∠ODC=90°,所以∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBD=∠ABC=90°,BO=BD,CD=AO,則可判斷△OBD為等腰直角三角形,則OD=OB,然后根據(jù)勾股定理的逆定理,當(dāng)CD2+OD2=OC2時,△OCD為直角三角形,∠ODC=90°.
解:(1)①∵△ABC為等邊三角形,
∴BA=BC,∠ABC=60°,
∵△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,
∴∠OBD=∠ABC=60°,
∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°;
②∵△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,
∴BO=BD,
而∠OBD=60°,
∴△OBD為等邊三角形;
∴OD=OB=4;
③∵△BOD為等邊三角形,
∴∠BDO=60°,
∵△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,
∴CD=AO=3,
在△OCD中,CD=3,OD=4,OC=5,
∵32+42=52,
∴CD2+OD2=OC2,
∴△OCD為直角三角形,∠ODC=90°,
∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°;
(2)OA2+2OB2=OC2時,∠ODC=90°.理由如下:
∵△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,
∴∠OBD=∠ABC=90°,BO=BD,CD=AO,
∴△OBD為等腰直角三角形,
∴OD=OB,
∵當(dāng)CD2+OD2=OC2時,△OCD為直角三角形,∠ODC=90°,
∴OA2+2OB2=OC2,
∴當(dāng)OA、OB、OC滿足OA2+2OB2=OC2時,∠ODC=90°.
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【題目】某校為了解學(xué)生對三種國慶活動方案的意見,對該校學(xué)生進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查(被調(diào)查學(xué)生至多贊成其中的一種方案),現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題
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(3)已知該校有1000名學(xué)生,試估計該校贊成方案1的學(xué)生約有多少人?
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【題目】按四舍五入法則取近似值:70.60的有效數(shù)字為 個,2.096≈(精確到百分位);15.046≈(精確到0.1)
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②AS=AR;
③QP∥AR;
④△BRP≌△QSP.
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【題目】(2016湖南省邵陽市第7題)一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情況是( )
A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根
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