Question

如圖，A、B、C為⊙O上三點(diǎn)，∠BAC=120°，∠ABC=45°，M，N分別是BC，AC的中點(diǎn)，則OM：ON=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,圓周角定理

專題：

分析：連結(jié)OA、OB、OC，如圖，設(shè)⊙O的半徑為R，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠ACB=15°，在根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，∠AOB=2∠ACB=30°，則△OAC為等腰直角三角形，∠BOC=120°，由M，N分別是BC，AC的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得到OM⊥BC，ON⊥AC，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到ON=

2

2

R，OM=

1

2

R，最后求它們的比值．

解答：解：連結(jié)OA、OB、OC，如圖，設(shè)⊙O的半徑為R，
∵∠BAC=120°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=15°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，∠AOB=2∠ACB=30°，
∴△OAC為等腰直角三角形，∠BOC=90°+30°=120°，
∵M(jìn)，N分別是BC，AC的中點(diǎn)，
∴OM⊥BC，ON⊥AC，
在Rt△OCN中，ON=

2

2

OC=

2

2

R，
∵OC=OB，∠BOC=120°，
∴∠OCB=∠OBC=30°
在Rt△BOM中，OM=

1

2

OB=

1

2

R，
∴OM：ON=

1

2

R：

2

2

R=1：

2

．
故答案為1：

2

．

點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．