Question

如圖，在△ABC中，AD為角平分線，CE⊥AD，F(xiàn)為BC中點．
求證：EF=

1

2

（AB-AC）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：證明題

分析：延長CE交AB于G，利用“角邊角”證明△AGE和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=AC，CE=GE，然后求出EF是△BCG的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半證明即可．

解答：證明：如圖，延長CE交AB于G，
∵AD為角平分線，
∴∠EAG=∠EAC，
∵CE⊥AD，
∴∠AEG=∠AEC=90°，
在△AGE和△ACE中，

∠EAG=∠EAC AE=AE ∠AEG=∠AEC=90°

，
∴△AGE≌△ACE（ASA），
∴AG=AC，CE=GE，
又∵F為BC中點，
∴EF是△BCG的中位線，
∴EF=

1

2

BG=

1

2

（AB-AG）=

1

2

（AB-AC），
即EF=

1

2

（AB-AC）．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和EF所在是三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．