【題目】已知如圖1菱形ABCD,∠ABC=60°,邊長為 3,在菱形內(nèi)作等邊三角形△AEF,邊長為2 ,點E,點F,分別在AB,AC上,以A為旋轉(zhuǎn)中心將△AEF順時針轉(zhuǎn)動,旋轉(zhuǎn)角為α,如圖2

(1)在圖2中證明BE=CF;
(2)若∠BAE=45°,求CF的長度;
(3)當CF= 時,直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù).

【答案】
(1)

證明:連接AC,如圖2所示:

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=BC=3,

∵∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

∴∠BAC=60°,AB=AC,

∵△AEF是等邊三角形,

∴AE=AF,∠EAF=60°,

∴∠EAF﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BAF,

∴∠BAE=∠CAF,

在△AEB和△AFC中,

∴△AEB≌△AFC(SAS),

∴BE=CF


(2)

解:過E點作EM⊥AB于M,如圖3所示:

∵∠BAE=45°,則△AEM是等腰直角三角形,

∴EM=AM= AE= ×2 =2,

∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1,

在Rt△BME中,由勾股定理得:BE= = = ,

由(1)得:CF=BE=


(3)

解:過E點作EM⊥AB于M,如圖4所示,

則∠EMB=∠EMA=90°,

由(1)得:BE=CF=

設(shè)AM=x,則BM=3﹣x,

由勾股定理得:BM2=BE2﹣BM2,BM2=AE2﹣AM2,

∴BE2﹣BM2=AE2﹣AM2,即( 2﹣(3﹣x)2=(2 2﹣x2,

解得:x=0,即點M與A重合,

∴∠BAE=90°,即α=90°;

同理可得:當CF= 時,α還等于270°;

綜上所述:當CF= 時,旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為90°或270°


【解析】(1)連接AC,證明△AEB≌△AFC,即可得出結(jié)論;(2)過E點作EM⊥AB于M,則△AEM是等腰直角三角形,得出EM=AM= AE=2,求出BM=AB﹣AM=1,在Rt△BME中,由勾股定理求出BE,即可得出CF的長;(3)過E點作EM⊥AB于M,則∠EMB=∠EMA=90°,由(1)得:BE=CF= ,設(shè)AM=x,則BM=3﹣x,由勾股定理得出方程,積解方程求出x=0,得出點M與
A重合,求出∠BAE=90°,即α=90°;同理可得:當CF= 時,α還等于270°即可.

練習冊系列答案
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被調(diào)查的捐款人數(shù)分組統(tǒng)計表:

組別

捐款額x/

人數(shù)

A

1≤x<10

a

B

10≤x<20

100

C

20≤x<30

______

D

30≤x<40

______

E

40≤x

______

請結(jié)合以上信息解答下列問題:

(1)a的值和參與調(diào)查的總?cè)藬?shù);

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