Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運(yùn)動(dòng)到D終止；動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以1cm/s的速度沿邊AD勻速運(yùn)動(dòng)到D終止，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，△APQ的面積為Scm2 ． S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示．

（1）求圖2中線段FG所表示的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在邊AB運(yùn)動(dòng)的過程中，若以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求t的值；
（3）是否存在這樣的t，使PQ將正方形ABCD的面積恰好分成1：3的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，可知題圖2中點(diǎn)E表示點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)的情形，

所用時(shí)間為2s，則正方形的邊長(zhǎng)AB=2×2=4cm．

點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D所需時(shí)間為：4÷1=4s，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)D所需時(shí)間為12÷2=6s．

因此在FG段內(nèi)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，且時(shí)間t的取值范圍為4≤t≤6．

故S= ×4×（12﹣2t）=﹣4t+24，

∴FG段的函數(shù)表達(dá)式為S=﹣4t+24（4≤t≤6）．

（2）

解：①若CP=CQ，則DQ=PB，顯然不成立

②若PC=PQ，則（4﹣2t）2+42=5t2，解得 ， （舍去）

③若QC=QP，則（4﹣t）2+42=5t2，解得t1=2，t2=﹣4（舍去）

綜上所述，當(dāng) 或t=2時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

（3）

解：假設(shè)存在這樣的t，使PQ將正方形ABCD的面積恰好分成1：3的兩部分．

易得正方形ABCD的面積為16．

①當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將正方形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，

如圖3所示，根據(jù)題意，得 ，解得t=2；

②當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將正方形ABCD分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如圖4所示．根據(jù)題意，得 （2t﹣4+t）×4= ×16，

解得t= ．

∴存在t=2和t= ，使PQ將正方形ABCD的面積恰好分成1：3的兩部分．

【解析】（1）函數(shù)圖象中線段FG，表示點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)D之后停止運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的情形．求出S的表達(dá)式，并確定t的取值范圍；（2）分CP=CQ、PC=PQ、QC=QP三種情況討論即可確定答案；（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，求出t的值；
當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，求出t的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握函數(shù)的圖像是由直角坐標(biāo)系中的一系列點(diǎn)組成；圖像上每一點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）代表了函數(shù)的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，他的橫坐標(biāo)x表示自變量的某個(gè)值，縱坐標(biāo)y表示與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，以及對(duì)等腰三角形的性質(zhì)的理解，了解等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．