Question

【題目】閱讀資料：小明是一個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的好學(xué)生，他在學(xué)習(xí)了有關(guān)圓的切線性質(zhì)后，意猶未盡，又查閱到了與圓的切線相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：

如圖1，已知PC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)BA交切線PC與P，連接AC、BC、OC．

因?yàn)?/span>PC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．
又因?yàn)椤?/span>B=∠1，所以∠B=∠2．

在△PAC與△PCB中，又因?yàn)椋骸?/span>P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以，即PC2=PAPB．

問(wèn)題拓展：

（Ⅰ）如果PB不經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O（如圖2）等式PC2=PAPB，還成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

綜合應(yīng)用：

（Ⅱ）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，PC是⊙O的切線，C是切點(diǎn)，BA的延長(zhǎng)線交PC于點(diǎn)P；

（1）當(dāng)AB=PA，且PC=12時(shí)，求PA的值；

（2）D是BC的中點(diǎn)，PD交AC于點(diǎn)E．求證：．

　

Answer 1

【答案】（Ⅰ）成立，證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）（1）6，（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D、E，連接BD、AE，可得△PBD∽△PEA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得PAPB=PDPE，再根據(jù)PC2=PDPE，即可證得結(jié)論。

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）得，PC2=PAPB，即可求得PC2=PAPB=PA(PA+AB)=2PA2，繼而即可求得答案；（2）過(guò)點(diǎn)A作AF//BC，交PD于點(diǎn)F，由平行線分線段成比例定理，即可得證.

解：（Ⅰ）當(dāng)PB不經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O時(shí)，等式PC2=PAPB仍然成立．

如圖，連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，E，連接BD、AE，

圖1

∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，

∴△PBD∽△PEA，

∴ ，

即PAPB=PDPE，

由圖1知，PC2=PDPE，

∴PC2=PAPB．

（Ⅱ）由（1）得，PC2=PAPB，PC=12，AB=PA，

∴PC2=PAPB=PA（PA+AB）=2PA2，

∴2PA2=144，

∴PA=±6（負(fù)值無(wú)意義，舍去）．

∴PA=6．

（2）過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，交PD于點(diǎn)F，

圖2

∴，．

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD，

∴，

∴．

∵PC2=PAPB，

∴，

即．