Question

【題目】如圖，直線y=-x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，C和點(diǎn)A(-1，0)．

(1)求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

(2)求該二次函數(shù)的解析式．

(3)若拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

(4)點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B(4，0)，C(0，2)；（2）y=-x2+x+2；（3）存在，P1(，4)，P2()，P3(，-)；（4）當(dāng)a=2時(shí)，S四邊形CDBF的最大值=，此時(shí)E(2，1)．

【解析】

（1）分別令解析式y=-x+2中x=0，y=0，求出點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入解析式，求出a，b，c的值，進(jìn)而求出二次函數(shù)的解析式；

（3）由（2）的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由勾股定理求出CD的值，再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧交對(duì)稱軸于，以點(diǎn)D為圓心，CD為半徑作圓交對(duì)稱軸于，，作CE垂直對(duì)稱軸于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理就可以求出結(jié)論；

（4）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，就可以表示出F的坐標(biāo)，由求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解：(1)在y=-x+2中，令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，

即B(4，0)，C(0，2)．

(2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，

將點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代入解析式，得

，

解得

即該二次函數(shù)的解析式為y=-x2+x+2．

(3)存在．∵y=-x2+x+2，

∴y=-(x-)2+，

∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=，∴OD=．

∵C(0，2)，∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．

∵△PCD是以CD為腰的等腰三角形，

∴CP1=DP2=DP3=CD．

如圖①所示，作CH⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)H，∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1(，4)，P2()，P3(，-)．

(4)∵B(4，0)，C(0，2)，

∴直線BC的解析式為y=-x+2．

如圖②，過點(diǎn)C作CM⊥EF于點(diǎn)M，

設(shè)E(a，-a+2)，F(a，-a2+a+2)，

∴EF=-a2+a+2-(-a+2)=-a2+2a(0≤a≤4)．

∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD·OC+EF·CM+EF·BN

=×(4-)×2+a(-a2+2a)+(4-a)( -a2+2a)

=-a2+4a+

=-(a-2)2+，

∴當(dāng)a=2時(shí)，S四邊形CDBF的最大值=，此時(shí)E(2，1)．