Question

直線y=kx+4與y軸交于點A，與雙曲線y=

5

x

相交于點B、C，且

AB

AC

=5．
（1）如果k＜0，設(shè)點C的坐標為（a，

5

a

），則點B的坐標是

 

（用a表示）；
（2）如果k＞0，設(shè)點C的坐標為（b，

5

b

），則點B的坐標是

 

（用b表示）；
（3）求k的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）根據(jù)圖象，先求出A的坐標，設(shè)B（x₁，y₁），再利用

AB

AC

=5，求出B的坐標，
（2）根據(jù)圖形，先求出A的坐標，設(shè)B（x₁，y₁），再利用

AB

AC

=5，求出B的坐標，
（3）由直線y=kx+4與y軸相交于點A，求出A（0，4），把y=kx+4代入y=

5

x

得kx²+4x-5=0，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由

AB

AC

=5得x₁=5x₂，由5•x22=

20

9k2

=-

5

k

，求得k=-

4

9

．用判定，滿足題設(shè)．即可得到k=-

4

9

．

解答：解：（1）如圖1，

∵直線y=kx+4與y軸相交于點A，
∴A（0，4），
∵k＜0，點C的坐標為（a，

5

a

），設(shè)B（x₁，y₁），
∵

AB

AC

=5得x₁=5a，y₁=

1

a

，
∴B的坐標是（5a，

1

a

），
故答案為：（5a，

1

a

）．
（2）如圖2，

∵直線y=kx+4與y軸相交于點A，
∴A（0，4），
∵k＞0，點C的坐標為（b，

5

b

），設(shè)B（x₁，y₁），
∵

AB

AC

=5，得

AC

BC

=

1

6

，
∴

b

b-x1

=

1

6

，x₁=-5b，
y₁=

5

x1

=-

1

b

，
∴B的坐標是（-5b，-

1

b

），
故答案為：（-5b，-

1

b

）．
（3）∵直線y=kx+4與y軸相交于點A，
∴A（0，4），
把y=kx+4代入y=

5

x

得kx²+4x-5=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

4

k

，x₁x₂=-

5

k

，
由

AB

AC

=5得x₁=5x₂，
∴6x₂=-

4

k

，x₂=-

2

3k

，
∴5•x22=

20

9k2

=-

5

k

，k=-

4

9

．
kx²+4x-5=0的△=16-4×（-

4

9

）•（-5）=16×（1-

5

9

）＞0，滿足題設(shè)．
∴k=-

4

9

．

點評：本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用

AB

AC

=5列式計算．