Question

如圖，點A、C、B在同一直線上，△DAC和△EBC均是等邊三角形，AE與BD交于點O，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N，有如下結論：①AE=BD；②△ACM≌△DCN；③EM=BN；④MN∥BC；⑤∠DOA=60°，其中，正確的結論個數(shù)是

1. A.
   5個
2. B.
   4個
3. C.
   3個
4. D.
   2個

Answer 1

A
分析：根據(jù)等邊三角形的性質可得AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，利用“邊角邊”證明△ACE和△DCB全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=BD，從而判斷①正確；根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CAE=∠CDB，再利用“角邊角”證明ACM和△DCN全等，從而判斷②正確；根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AM=DN，CM=CN，然后求出EM=BN，從而判斷③正確；再證明△CMN是等邊三角形，然后求出∠CNM=60°，得到∠CNM=∠BCE，再根據(jù)內錯角相等，兩直線平行可得MN∥BC，從而判斷④正確；在△AOD中，利用三角形的內角和等于180°列式求解即可得到∠DOA=60°，從而判斷⑤正確．
解答：∵△DAC和△EBC均是等邊三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB，故①正確；
在ACM和△DCN中，
∵，
∴△ACM≌△DCN（ASA），故②正確；
∴AM=DN，CM=CN，
∴AE-AM=BD-DN，
即EM=BN，故③正確；
∵∠MCN=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，CM=CN，
∴△CMN是等邊三角形，
∴∠CNM=60°，
∴∠CNM=∠BCE，
∴MN∥BC，故④正確；
在△AOD中，∵∠CAE=∠CDB，
∴∠ADO+∠DAO=∠ADC+∠DAO+∠CAE=∠ADC+∠DAC=120°，
∴∠DOA=180°-（∠ADO+∠DAO）=180°-120°=60°，故⑤正確，
綜上所述，正確的結論有①②③④⑤共5個．
故選A．
點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，平行線的判定，綜合性較強，但難度不是很大，準確識圖找出全等三角形是解題的關鍵．