Question

（1）如圖，已知在梯形ABCD中AD∥BC，AB=DC，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E是BC邊上一個(gè)動點(diǎn)（E點(diǎn)不與B、C兩點(diǎn)重合），EF∥BD交AC于點(diǎn)F，EG∥AC交BD于點(diǎn)G．
①求證：△OBC是等腰三角形；  
②探究四邊形EFOG的周長與線段OB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）請你將第（1）題中的條件“梯形ABCD”改為另一種四邊形，

 

形，其它條件不變，使得第（1）題中的四邊形EFOG的周長與線段OB之間的數(shù)量關(guān)系仍成立．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),梯形

專題：

分析：（1）①很顯然四邊形OFEG是個(gè)平行四邊形，那么OF=GE，OG=EF，我們可通過△ABC≌△DCB得出∠ACB=∠DBC，即可得出△OBC是等腰三角形；②然后根據(jù)GE∥AC，可得出三角形BGE是等腰三角形，那么GE=GB，因此OB=OG+GE而OG=EF，GE=OF，由此可得出四邊形EFOG的周長是2OB．
（2）由（1）的解題思路我們可看出，要得到（1）的結(jié)論，必須滿足的條件應(yīng)該是三角形ABC和DBC全等，那么AB和CD邊必須相等，四邊形的對角線必須相等，因此我們可將等腰梯形換成正方形或矩形，就能得出和（1）一樣的結(jié)論了．

解答：（1）證明：如圖，
①∵四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB．
在△ABC與△DCB中，

BC=CB ∠ABC=∠DCB AB=DC

，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
∴∠1=∠2．
∴△OBC是等腰三角形，
②又∵GE∥AC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴EG=BG．
∵EG∥OC，EF∥OB，
∴四邊形EGOF是平行四邊形．
∴EG=OF，EF=OG．
∴四邊形EGOF的周長=2（OG+GE）=2（OG+GB）=2OB

（2）解：如圖，已知矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一個(gè)動點(diǎn)，（點(diǎn)E不與B、C兩點(diǎn)重合）EF∥BD，交AC于點(diǎn)F，EG∥AC交BD于點(diǎn)G，
求證：四邊形EFOG的周長等于2OB．
故答案為：矩．

點(diǎn)評：本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和應(yīng)用等知識點(diǎn)，根據(jù)全等三角形來得出角相等是解題的關(guān)鍵．