Question

如圖，M是四邊形ABCD對角線的交點，AC⊥x軸于點C，BD⊥y軸于點B．反比例函數(shù)C₁：y=

4

x

的圖象經(jīng)過點A，M是AC的中點．
（1）求經(jīng)過點M的反比例函數(shù)圖象的解析式；
（2）若點D恰好也在圖象C₁上，試證明四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)出A坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)M為AC中點，且AC垂直與x軸，確定出M坐標(biāo)，首先根據(jù)已知反比例函數(shù)經(jīng)過點A求得mn的乘積，然后將點M的坐標(biāo)代入設(shè)出的反比例函數(shù)的解析式求解即可；
（2）根據(jù)DB垂直于y軸，得到D與M縱坐標(biāo)相同，將M縱坐標(biāo)代入反比例解析式中求出x的值，確定出D坐標(biāo)，得到BM=DM，進(jìn)而確定出AC與BD互相平分，又AC與BD垂直，利用對角線互相平分且垂直的四邊形為菱形即可得證．

解答：（1）解：設(shè)A（m，n），
∵M(jìn)是AC的中點，AC⊥x軸于點C，
∴M（m，0.5n），
∵反比例函數(shù)C₁：y=

4

x

的圖象經(jīng)過點A，
∴n=

4

m

，
∴mn=4，
設(shè)經(jīng)過點M的反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，
∴0.5n=

k

m

，
解得：k=0.5mn=0.5×4=2，
∴經(jīng)過點M的反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

；

（2）證明：設(shè)A（m，n），則M（m，0.5n），
∵DB⊥y軸，
∴D與M縱坐標(biāo)相同，
將y=0.5n代入y=

4

x

中，得x=2m，即D（2m，0.5n），
∴BM=DM=m，
∵M(jìn)為AC中點，即AM=CM，
∴AC與BD互相平分，
∵AC⊥BD，
則四邊形ABCD為菱形．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，反比例函數(shù)性質(zhì)，以及菱形的判定，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．