Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．

如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)．當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí)，△DEF停止移動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)、DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4.5）解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上？

（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使面積y最��？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解答：

解：（1）∵點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上， ∴AP=AQ； ∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°， ∴∠EQC=45°； ∴∠DEF=∠EQC； ∴CE=CQ； 由題意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t； ∴AQ=8﹣t； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm； 則AP=10﹣2t； ∴10﹣2t=8﹣t； 解得：t=2； 答：當(dāng)t=2s時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上；（2）過P作PM⊥BE，交BE于M ∴∠BMP=90°； 在Rt△ABC和Rt△BPM中，， ∴； ∴PM=； ∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6﹣t； ∴y=S△ABC﹣S△BPE=﹣=﹣ ==； ∵， ∴拋物線開口向上； ∴當(dāng)t=3時(shí)，y最小=； 答：當(dāng)t=3s時(shí)，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm2．（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上； 過P作PN⊥AC，交AC于N ∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°； ∵∠PAN=∠BAC， ∴△PAN∽△BAC； ∴； ∴； ∴，； ∵NQ=AQ﹣AN， ∴NQ=8﹣t﹣（）= ∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一條直線上， ∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ； ∵∠FQC=∠PQN， ∴△QCF∽△QNP； ∴，∴； ∵0＜t＜4.5，∴； 解得：t=1； 答：當(dāng)t=1s，點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上．