【題目】如圖,拋物線y=a(x+2)(x﹣4)與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,且∠ACO=∠CBO.
(1)求線段OC的長度;
(2)若點D在第四象限的拋物線上,連接BD、CD,求△BCD的面積的最大值;
(3)若點P在平面內(nèi),當(dāng)以點A、C、B、P為頂點的四邊形是平行四邊形時,直接寫出點P的坐標(biāo).
【答案】(1)2;(2)2;(3)(2,2),(6,﹣2)或(﹣6,﹣2)
【解析】
(1)由拋物線的解析式先求出點A,B的坐標(biāo),再證△AOC∽△COB,利用相似三角形的性質(zhì)可求出CO的長;
(2)先求出拋物線的解析式,再設(shè)出點D的坐標(biāo)(m,m2﹣m﹣2),用含m的代數(shù)式表示出△BCD的面積,利用函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值;
(3)分類討論,分三種情況由平移規(guī)律可輕松求出點P的三個坐標(biāo).
(1)在拋物線y=a(x+2)(x﹣4)中,
當(dāng)y=0時,x1=﹣2,x2=4,
∴A(﹣2,0),B(4,0),
∴AO=2,BO=4,
∵∠ACO=∠CBO,∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴,即,
∴CO=2;
(2)由(1)知,CO=2,
∴C(0,﹣2)
將C(0,﹣2)代入y=a(x+2)(x﹣4),
得,a=,
∴拋物線解析式為:y=x2﹣x﹣2,
如圖1,連接OD,
設(shè)D(m,m2﹣m﹣2),
則S△BCD=S△OCD+S△OBD﹣S△BOC
=×2m+×4(﹣m2+m+2)﹣×4×2
=﹣m2+2m
=﹣(m﹣2)2+2,
根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知,當(dāng)m=2時,△BCD的面積有最大值2;
(3)如圖2﹣1,當(dāng)四邊形ACBP為平行四邊形時,由平移規(guī)律可知,點C向右平移4個單位長度,再向上平移2個單位長度得到點B,所以點A向右平移4個單位長度,再向上平移2個單位長度得到點P,因為A(﹣2,0),所以P1(2,2);
同理,在圖2﹣2,圖2﹣3中,可由平移規(guī)律可得P2(6,﹣2),P3(﹣6,﹣2);
綜上所述,當(dāng)以點A、C、B、P為頂點的四邊形是平行四邊形時,點P的坐標(biāo)為(2,2),(6,﹣2),P3(﹣6,﹣2).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校九年級有600名學(xué)生,在體育中考前進(jìn)行了一次模擬體測.從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生,根據(jù)其測試成績制作了下面兩個統(tǒng)計圖.請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(Ⅰ)本次抽取到的學(xué)生人數(shù)為 ,圖2中的值為 ;
(Ⅱ)求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計該校九年級模擬體測中得12分的學(xué)生約有多少人?
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【題目】2014年我省財政收入比2013年增長8.9%,2015年比2014年增長9.5%,若2013年和2015年我省財政收入分別為a億元和b億元,則a、b之間滿足的關(guān)系式為( 。
A.B.
C.D.
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點O與原點重合,頂點A,C分別在x軸、y軸上,雙曲線y=kx﹣1(k≠0,x>0)與邊AB、BC分別交于點N、F,連接ON、OF、NF.若∠NOF=45°,NF=2,則點C的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用一個大小形狀固定的不等邊銳角三角形紙,剪出一個最大的正方形紙備用.甲同學(xué)說:“當(dāng)正方形的一邊在最長邊時,剪出的內(nèi)接正方形最大”;乙同學(xué)說:“當(dāng)正方形的一邊在最短邊上時,剪出的內(nèi)接正方形最大”;丙同學(xué)說:“不確定,剪不出這樣的正方形紙.”你認(rèn)為誰說的有道理,請證明.(假設(shè)圖中△ABC的三邊a,b,c,且a>b>c,三邊上的高分別記為ha,hb,hc)
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【題目】某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個山坡,坡上面是一塊平地,如圖所示,BC∥AD,BE⊥AD,斜坡AB長為26米,斜坡AB的坡比為i=12:5,為了減緩坡面防山體滑坡,保障安全,學(xué)校決定對該斜坡進(jìn)行改造,經(jīng)地質(zhì)人員勘測,當(dāng)坡角不超過50°時,可確保山體不滑坡.
(1)求改造前坡頂?shù)降孛娴木嚯xBE的長;
(2)如果改造時保持坡腳A不動,坡頂B沿BC向左移11米到F點處,問這樣改造能確保安全嗎?(tan48.8°≈1.14)
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【題目】(發(fā)現(xiàn)問題)
(1)如圖1,已知△CAB和△CDE均為等邊三角形,D在AC上,E在CB上,易得線段AD和BE的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)將圖1中的△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,直線AD和直線BE交于點F.
①判斷線段AD和BE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
②圖2中∠AFB的度數(shù)是 .
(探究拓展)
(3)如圖3,若△CAB和△CDE均為等腰直角三角形,∠ABC=∠DEC=90°,AB=BC,DE=EC,直線AD和直線BE交于點F,分別寫出∠AFB的度數(shù),線段AD、BE間的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+3與拋物線交于A、B兩點,點A在x軸上,點B的橫坐標(biāo)為.動點P在拋物線上運動(不與點A、B重合),過點P作y軸的平行線,交直線AB于點Q.當(dāng)PQ不與y軸重合時,以PQ為邊作正方形PQMN,使MN與y軸在PQ的同側(cè),連結(jié)PM.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求b、c的值.
(2)當(dāng)點N落在直線AB上時,直接寫出m的取值范圍.
(3)當(dāng)點P在A、B兩點之間的拋物線上運動時,設(shè)正方形PQMN的周長為C,求C與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出C隨m增大而增大時m的取值范圍.
(4)當(dāng)△PQM與坐標(biāo)軸有2個公共點時,直接寫出m的取值范圍.
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