Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²+（m-3）x-3=0．
（1）求證：無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)拋物線y=mx²+（m-3）x-3，證明：此函數(shù)圖象一定過x軸，y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)（設(shè)x軸上的定點(diǎn)為點(diǎn)A，y軸上的定點(diǎn)為點(diǎn)C）；
（3）設(shè)此函數(shù)的圖象與x軸的另一交點(diǎn)為B，當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）證明方程判別式為非負(fù)數(shù)即可；
（2）求出mx²+（m-3）x-3=0的兩個(gè)根，可得x軸上的定點(diǎn)，根據(jù)解析式可確定y軸定點(diǎn)為（0，3）；
（3）先確定A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，求出當(dāng)∠ACB是直角時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)，依次為臨界，確定△ABC為銳角三角形時(shí)，求m的取值范圍．

解答：解：（1）△=（m-3）²+12m=（m+3）²
∵（m+3）²≥0
∴無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（2）由公式法：x1，2=

3-m± (m-3)2+12m

2m

=

3-m±(m+3)

2m

∴x₁=-1，x₂=

3

m

，
∴此函數(shù)圖象一定過x軸，y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，分別為A（-1，0），C（0，-3）．

（3）由（2）可知拋物線開口向上，且過點(diǎn)A（-1，0），C（0，-3）和B（

3

m

，0）．
觀察圖象，當(dāng)m＜0時(shí)，△ABC為鈍角三角形，不符合題意．
當(dāng)m＞0時(shí)，可知若∠ACB=90°時(shí)，
可證△AOC∽△COB．
∴

AO

CO

=

CO

BO

．
∴|OC|²=|OA|•|OB|．
∴3²=1×|OB|．
∴OB=9．即B（9，0）．
∴當(dāng)0＜

3

m

＜9時(shí)，△ABC為銳角三角形．
即當(dāng)m＞

1

3

時(shí)，△ABC為銳角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了根的判別式、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，難度較大．