Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，CD=4，AD=8．點(diǎn)E為

AC

的中點(diǎn)，延長AE交DC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：CA=CF．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）連接OC，根據(jù)勾引股定理求出r的值即可；
（2）連接BE，先根據(jù)圓周角定理得出∠AEB=90°，再根據(jù)兩角互余的性質(zhì)得出∠B=∠F，根據(jù)點(diǎn)E為

AC

的中點(diǎn)得出

AE

=

CE

，故∠CAE=∠B，∠CAE=∠F，由此可得出結(jié)論．

解答：解：（1）連接OC，
∵AD=8，
∴OD=8-r．
∵CD⊥AB，
∴根據(jù)勾股定理得出：OD²+CD²=OC²，則（8-r）²+4²=r²，解的r=5；

（2）連接BE，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠B+∠BAE=90°．
又∵∠F+∠BAE=90°，
∴∠B=∠F．
∵點(diǎn)E為

AC

的中點(diǎn)，
∴

AE

=

CE

，
∴∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠F，
∴AC=CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．