Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4，3），動圓D經(jīng)過A、O，分別與兩坐標軸的正半軸交于點E、F．
（1）當EF⊥OA時，此時EF=

 

；
（2）求動圓D的半徑r的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接AE、OD，作AB⊥x軸于B，OA與EF垂直于C，如圖1，利用兩點的距離公式計算出OA=5，根據(jù)圓周角定理得到EF為⊙D的直徑，再根據(jù)垂徑定理由EF⊥OA得到弧EO=弧EA，則CO=AC=

1

2

OA=

5

2

，EO=EA，設OE=t，則AE=t，BE=4-t，在Rt△ABE中根據(jù)勾股定理得3²+（4-t）²=t²，解得t=

25

8

，在Rt△OEC中，可計算出CE=

15

8

，在Rt△OCD中，設⊙D的半徑為r，則OD=r，CD=r-

15

8

，利用勾股定理得（r-

15

8

）²+（

5

2

）²=r²，解得r=

125

48

，于是得到EF=2r=

125

24

；
（2）由于點D經(jīng)過點A、O．所以OA為直徑時，動圓D的半徑r最小，此時r=

1

2

OA=

5

2

；當⊙D與x軸切于點O時，動圓D的半徑r最大，如圖2，作AH⊥OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得EF為⊙D的直徑，則∠FAO=90°，再證明Rt△OAH∽Rt△OFA，利用相似比可計算出OF=

25

3

，即此時r=

25

6

，于是得到動圓D的半徑r的取值范圍為

5

2

≤r≤

25

6

．

解答：解：（1）連接AE、OD，作AB⊥x軸于B，OA與EF垂直于C，如圖1，
∵A（4，3），
∴OA=

42+32

=5，
∵∠EOF=90°，
∴EF為⊙D的直徑，
∵EF⊥OA，
∴弧EO=弧EA，CO=AC=

1

2

OA=

5

2

，
∴EO=EA，
設OE=t，則AE=t，BE=4-t，
在Rt△ABE中，AB=3，
∵AB²+BE²=AE²，
∴3²+（4-t）²=t²，解得t=

25

8

，
在Rt△OEC中，CE=

OE2-OC2

=

( 25 8 )2-( 5 2 )2

=

15

8

，
在Rt△OCD中，設⊙D的半徑為r，則OD=r，CD=r-

15

8

，
∵DC²+OC²=OD²，
∴（r-

15

8

）²+（

5

2

）²=r²，解得r=

125

48

，
∴EF=2r=

125

24

；
故答案為

125

24

；
（2）當OA為直徑時，動圓D的半徑r最小，此時r=

1

2

OA=

5

2

，
當⊙D與x軸切于點O時，動圓D的半徑r最大，如圖2，作AH⊥OE，
∵⊙D與x軸相切，
∴EF為⊙D的直徑，
∴∠FAO=90°，
∵∠AOH=∠FOA，
∴Rt△OAH∽Rt△OFA，
∴AO：OF=OH：AO，即5：OF=3：5，
∴OF=

25

3

，此時r=

25

6

，
∴動圓D的半徑r的取值范圍為

5

2

≤r≤

25

6

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和垂徑定理；會應用勾股定理和相似比進行幾何計算．