Question

如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3，延長BD交CF于點(diǎn)G．
①求證：BD⊥CF；
②當(dāng)AB=4，AD=時，求線段BG的長．

Answer 1

解：（1）BD=CF成立。理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。
在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。
（2）①證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M．
∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABM=∠GCM。
又∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG。
∴∠BGC=∠BAC=90°。∴BD⊥CF。
②過點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N。

∵在正方形ADEF中，AD=DE=，
∴。
∴AN=FN=AE=1。
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，。
∴在Rt△FCN中，。
在Rt△ABM中，。
∴AM=。
∴CM=AC﹣AM=4﹣，。
∵△BMA∽△CMG，∴，即，∴CG=。
∴在Rt△BGC中，。

解析