Question

已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x²－(2k+1)x+k(k+1)=0的兩個實數(shù)根,第三邊BC的長為5.

(1)k為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形?

(2)k為何值時,△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周長.

Answer 1

解：(1)∵x²－(2k+1)x+k(k+1)=0,

∴(x－k)·［x－(k+1)］=0,

∴x₁=k,x₂=k+1.

由勾股定理，得k²+(k+1)²=5²,解得k₁=3,k₂=－4(舍去).

∴當k=3時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形.

(2)當△ABC是等腰三角形時,有三種情況:

①AB=AC,而在一元二次方程中,由于b²－4ac=［－(2k+1)］²－4k(k+1)=1,即AB≠AC.因此此種情況不存在;

②AB=BC或AC=BC.此時x=5是已知方程的一個根，所以5²－5(2k+1)+k(k+1)=0,解得k₁=4,k₂=5.

當k₁=4時,方程的兩個根為x₁=k=4,x₂=k+1=5,此時等腰三角形的三邊長為4,5,5,可以構(gòu)成三角形,

∴此時等腰三角形的周長為4+5+5=14;

當k=5時,方程的兩個根為x₁=k=5,x₂=k+1=6,此時等腰三角形的三邊長為5,5,6,可以構(gòu)成三角形,

∴此時等腰三角形的周長為6+5+5=16.