Question

已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．現(xiàn)給出四個(gè)條件：
①AC⊥BD；②AC平分對(duì)角線BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA．請(qǐng)你以其中的三個(gè)條件作為命題的題設(shè)，以“四邊形ABCD為矩形”作為命題的結(jié)論．
（1）寫出一個(gè)真命題，并證明；
（2）寫出一個(gè)假命題，并舉出一個(gè)反例說明．

Answer 1

考點(diǎn)：命題與定理

專題：證明題

分析：（1）以②③④為題設(shè)，以“四邊形ABCD為矩形”為結(jié)論可組成一個(gè)真命題，根據(jù)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形為矩形進(jìn)行證明；
（2）①②④為題設(shè)，以“四邊形ABCD為矩形”為結(jié)論可組成一個(gè)假命題，然后利用畫反例圖進(jìn)行說明．

解答：解：（1）真命題：四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若AC平分對(duì)角線BD；AD∥BC；∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD為矩形．
證明如下：如圖，∵∠OAD=∠ODA，
∴OA=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠OBC=∠ODA，
∴∠OCB=∠OBC，
∴OB=OC，
∵AC平分對(duì)角線BD，
∴OB=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
即對(duì)角線AC和BD相等且互相平分，
∴四邊形ABCD為矩形；
（2）假命題：四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若AC⊥BD，AC平分對(duì)角線BD；∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD為矩形．
如圖，
．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．也考查了矩形的判定．