Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．
（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC是以AC為斜邊的Rt△時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為N，當(dāng)△ACN的面積為

15

8

時(shí)，求直線AN的解析式．

Answer 1

（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c中，得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
故拋物線的解析式是y=-x²+2x+3，對(duì)稱軸為：直線x-

b

2a

=1；

（2）設(shè)點(diǎn)P（1，y）是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作CF⊥l于F，l交x軸于E，
則AC²=AO²+CO²=10，CP²=CF²+PF²=1+（3-y）²=y²-6y+10，
AP²=AE²+PE²=4+y²，∴由CP²+AP²=AC²，
得：y²-6y+10+4+y²=10，解得y=1或y=2，
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為P₁（1，1）、P₂（1，2）；

（3）設(shè)點(diǎn)M（1，m），與（2）同理可得：AC²=10，CM²=m²-6m+10，AM²=4+m²
①當(dāng)AC=CM時(shí)，10=m²-6m+10，解得：m=0或m=6（舍去），
②當(dāng)AC=AM時(shí)，10=4+m²，解得：m=

6

或m=-

6

，
③當(dāng)CM=AM時(shí)，m²-6m+10=4+m²，解得：m=1，
檢驗(yàn)：當(dāng)m=6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，不合題意，故舍去；
綜上可知，符合條件的M點(diǎn)有4個(gè)，
M坐標(biāo)為（1，0）、（1，

6

）、（1，-

6

）、（1，1）；

（4）設(shè)直線AN的解析式為y=kx+b，且交y軸于點(diǎn)K，
∵過(guò)點(diǎn)A（-1，0），
∴y=kx+k，
∴K（0，k），
∵N是直線AN與拋物線的交點(diǎn)，
∴kx+k=-x²+2x+3，解得x=3-k或x=-1（舍去），
∵N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=3-k（k＜3），
由S_△ACN=S_△ACK+S_△CKN=

1

2

CK•OA+

1

2

CK•NJ=

1

2

（3-k）×1+

1

2

（3-k）²
=

1

2

（k²-7k+12），
令

15

8

=

1

2

（k²-7k+12），
解得k=

11

2

（舍去），或k=

3

2

，
故直線AN的解析式為y=

3

2

x+

3

2

．