Question

已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為點(diǎn)C．

（1）求證：不論m為何實(shí)數(shù)，該拋物線(xiàn)與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，求m的值和C點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如圖，直線(xiàn)與（2）中的拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，并與它的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D．直線(xiàn)交直線(xiàn)AB于點(diǎn)M，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N．求當(dāng)k為何值時(shí)，以C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

 (1)Δ＝

＝．                                   

∵不論m為何實(shí)數(shù)，總有，∴Δ＝＞0，

∴無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，拋物線(xiàn)與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

(2)∵ 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝3，

∴ ＝3，即m＝3，                               

此時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式為y＝＝，

∴頂點(diǎn)C坐標(biāo)為(3，－2)．                                   

(3) ∵CD∥MN，C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CDNM是平行四邊形．

由已知D(3，2)，M(k，k－1)，N(k，)，

∵C(3，－2)，∴ CD＝4．

∴MN＝＝CD＝4．                

①當(dāng)四邊形CDMN是平行四邊形，

MN＝k－1－()＝4，

整理得  ＝0，

解得  k₁＝3（不合題意，舍去），k₂＝5．                     

②當(dāng)四邊形CDNM是平行四邊形，

NM＝－(k－1)＝4，

整理得  ＝0，

解得  k₃＝，k₄＝．

綜上所述，k＝5，或k＝，或k＝時(shí)，可使得C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．