【題目】如圖,在RtABC中,BAC=90°,現(xiàn)在有一足夠大的直角三角板,它的直角頂點D是BC上一點,另兩條直角邊分別交AB、AC于點E、F.

(1)如圖1,若DEAB,DFAC,求證:四邊形AEDF是矩形;

(2)在(1)條件下,若點D在BAC的 角平分線上,試判斷此時四邊形AEDF的形狀,并說明理由;

(3)若點D在BAC的角平分線上,將直角三角板繞點D旋轉一定的角度,使得直角三角板的兩條邊與兩條直角邊分別交于點E、F(如圖2),試證明AE+AF=AD.

【答案】見解析

【解析】解:(1)DEAB,BFAC,

∴∠AED=AFD=90°,

∵∠BAC=90°,

四邊形AEDF是矩形;

(2)四邊形AEDF是正方形,

理由:點D在BAC的 角平分線上,DEAB,BFAC,

DE=DF,

矩形AEDF是正方形;

(3)作DMAB于M,DNAC于N,

∴∠AED=AFD=BAC=90°,

點D在BAC的 角平分線上,

DM=DN,

四邊形AMDN是正方形,

AM=DM=DN=AN,MDN=AMD=90°,

∴∠MDF+NDF=90°,

∵∠EDF=90°,

∴∠MDF+EDM=90°,

∴∠NDF=EDM,

EMD與END中,,

∴△EMD≌△END,

EM=FN,

∵∠AMD=90°,

AM2+DM2=AD2,

AD=AM,

AM=(AM+AN)=(AE+AF),

AD=×(AE+AF),

AE+AF=AD.

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