【題目】如圖①,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分線交于O點,過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F.試回答:
(1)圖中等腰三角形是 .猜想:EF與BE、CF之間的關(guān)系是 .理由:
(2)如圖②,若AB≠AC,圖中等腰三角形是 .在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
(3)如圖③,若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O,過O點作OE∥BC交AB于E,交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.
【答案】(1)答案見解析 (2)△EOB、△FOC 存在 (3)答案見解析
【解析】
(1)由AB=AC,可得∠ABC=∠ACB;又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB;故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB;根據(jù)EF∥BC,可得:∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠FCO=∠BCO;由此可得出的等腰三角形有:△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形,則EO=BE,OF=FC,則EF=BE+FC.
(2)由(1)的證明過程可知:在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過程中,與AB=AC的條件沒有關(guān)系,故這兩個等腰三角形還成立.所以(1)中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立.
(3)思路與(2)相同,只不過結(jié)果變成了EF=BE-FC.
解:(1)圖中是等腰三角形的有:△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC.理由如下:
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB,
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠OCB=∠FCO,
即EO=EB,F(xiàn)O=FC,
∴EF=EO+OF=BE+CF;
(2)當(dāng)AB≠AC時,△EOB、△FOC仍為等腰三角形,(1)的結(jié)論仍然成立.(證明過程同(1));
(3)△EOB和△FOC仍是等腰三角形,EF=BE-FC.理由如下:
同(1)可證得△EOB是等腰三角形;
∵EO∥BC,
∴∠FOC=∠OCG,
∵OC平分∠ACG,
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG,
∴FO=FC,故△FOC是等腰三角形,
∴EF=EO-FO=BE-FC.
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【題目】如圖,在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE.過點A作AE的垂線交DE于點P.若AE=AP=1,PB=.下列結(jié)論:①△APD≌△AEB;②點B到直線AE的距離為;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正確結(jié)論的序號是 .
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【題目】某電信公司手機的A類收費標(biāo)準(zhǔn)如下:不管通話時間多長,每部手機每月必須繳月租費12元,另外,通話費按元計;B類收費標(biāo)準(zhǔn)如下:沒有月租費,但通話費按元計按照此類收費標(biāo)準(zhǔn)完成下列各題:
直接寫出每月應(yīng)繳費用元與通話時長分之間的關(guān)系式:
A類:______B類:______
若每月平均通話時長為300分鐘,選擇______類收費方式較少.
求每月通話多長時間時,按兩類收費標(biāo)準(zhǔn)繳費,所繳話費相等.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1的解析式為,直線l2的解析式為,與x軸、y軸分別交于點A、點B,直線l1與l2交于點C.
(1)求點A、點B、點C的坐標(biāo),并求出△COB的面積;
(2)若直線l2上存在點P(不與B重合),滿足S△COP=S△COB,請求出點P的坐標(biāo);
(3)在y軸右側(cè)有一動直線平行于y軸,分別與l1,l2交于點M、N,且點M在點N的下方,y軸上是否存在點Q,使△MNQ為等腰直角三角形?若存在,請直接寫出滿足條件的點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】下面關(guān)于x的方程中:①ax2+x+2=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x+3=④x2-a=0(a為任意實數(shù);⑤=x-1一元二次方程的個數(shù)是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】11月5日晚在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功以“一箭雙星”方式發(fā)射第24顆、第25顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星,“中國的北斗,世界的北斗”,北斗衛(wèi)星系統(tǒng)是由中國自主研發(fā)的全球領(lǐng)先的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng),這套天羅地網(wǎng)在不久的將來會造福人類、服務(wù)全球.第三期北斗系統(tǒng)總項目預(yù)算國撥總投資為240億元,分技術(shù)、基建、設(shè)備三個項目投資,基建項目投資占技術(shù)項目投資的,設(shè)備項目投資比技術(shù)項目投資少40%,由于物價的上漲,總項目的實際總投資隨之增長,基建項目投資的增長率是技術(shù)項目投資增長率的2.5倍,設(shè)備項目投資的增長率達到基建項目投資增長率的2倍.
(1)三個項目的預(yù)算投資分別是多少億元?
(2)由于技術(shù)工人齊心協(xié)力,整套導(dǎo)航系統(tǒng)提前半年交付使用,導(dǎo)航系統(tǒng)每月可供1000萬臺導(dǎo)航設(shè)備使用,每臺導(dǎo)航設(shè)備的平均月使用費為40元,這樣,可將提前半年使用的收益的70%用于該項目的實際投資,減少了國撥投資,使預(yù)算國撥總投資減少的百分率與技術(shù)項目投資的增長率相同,問第三期北斗系統(tǒng)工程的實際總投資是多少億元?
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【題目】先閱讀下列材料,再解答下列問題:
題:分解因式:
解:將“”看成整體,設(shè),則原式=
再將“”還原,得原式=.
上述解題用到的是“整體思想”,“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法,請你仿照上面的方法解答下列問題:
(1)因式分解: ; .
(2)因式分解: ; .
(3)求證:若為正整數(shù),則式子的值一定是某一個正整數(shù)的平方.
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【題目】已知和為等腰三角形,,,,點在上,點在射線上.
(1)如圖1,若∠BAC=60°,點F與點C重合,求證:AF=AE+AD;
(2)如圖2,若AD=AB,求證:AF=AE+BC. .
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【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A、B的橫坐標(biāo)分別為a、,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、B,且a、m滿足為常數(shù).
若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B兩點.
當(dāng)、時,求k的值;
若y隨x的增大而減小,求d的取值范圍;
當(dāng)且、時,判斷直線AB與x軸的位置關(guān)系,并說明理由;
點A、B的位置隨著a的變化而變化,設(shè)點A、B運動的路線與y軸分別相交于點C、D,線段CD的長度會發(fā)生變化嗎?如果不變,求出CD的長;如果變化,請說明理由.
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