【題目】1)問(wèn)題背景:如圖1,在四邊形ABCD中,ABAD,∠BAD120°,∠B=∠ADC90°E,F分別是BCCD上的點(diǎn),且∠EAF60°,請(qǐng)?zhí)骄繄D中線段BE,EFFD之間的數(shù)量關(guān)系是什么?

小明探究此問(wèn)題的方法是:延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DGBE,連結(jié)AG.先證明ABE≌△ADG,得AEAG;再由條件可得∠EAF=∠GAF,證明AEF≌△AGF,進(jìn)而可得線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系是   

2)拓展應(yīng)用:

如圖2,在四邊形ABCD中,ABAD,∠B+D180°E,F分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAFBAD.問(wèn)(1)中的線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1EFBE+DF;(2)結(jié)論EFBE+DF仍然成立;證明見(jiàn)解析.

【解析】

1)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解題;

2)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解題.

1EFBE+DF,

理由如下:

在△ABE和△ADG中,

,

∴△ABE≌△ADGSAS),

AEAG,∠BAE=∠DAG

∵∠EAFBAD

∴∠GAF=∠DAG+DAF=∠BAE+DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF

∴∠EAF=∠GAF,

在△AEF和△GAF中,

,

∴△AEF≌△AGFSAS),

EFFG,

FGDG+DFBE+DF,

EFBE+DF;

故答案為:EFBE+DF

2)結(jié)論EFBE+DF仍然成立;

理由:延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DGBE.連結(jié)AG,如圖2,

∵∠B+ADC180°,∠ADC+ADG180°,

∴∠B=∠ADG,

在△ABE和△ADG中,

,

∴△ABE≌△ADGSAS),

AEAG,∠BAE=∠DAG

∵∠EAFBAD,

∴∠GAF=∠DAG+DAF=∠BAE+DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,

∴∠EAF=∠GAF,

在△AEF和△GAF中,

,

∴△AEF≌△AGFSAS),

EFFG,

FGDG+DFBE+DF,

EFBE+DF

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