Question

【題目】如圖，已知一條直線過點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．

求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)的坐標(biāo)．

在軸上是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

過線段上一點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，的長度最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1) 直線，B(8,16);(2)存在，或，理由見解析；（3）當(dāng)的橫坐標(biāo)為時(shí)，的長度的最大值是

【解析】

（1）首先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，從而求得直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1，過點(diǎn)B作BG∥x軸，過點(diǎn)A作AG∥y軸，交點(diǎn)為G，然后分若∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，則AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，則AB2+BC2=AC2三種情況求得m的值，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）設(shè)M（a，a2），如圖2，設(shè)MP與y軸交于點(diǎn)Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=a2+1，然后根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同得到x=，從而得到MN+3PM=-a2+3a+9，確定二次函數(shù)的最值即可．

解：∵點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為，

∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，

將，代入得，

解得，

∴直線，

∵直線與拋物線相交，

∴，

解得：或，

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

如圖，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，交點(diǎn)為，

∴，

∵由，可求得．

設(shè)點(diǎn)，同理可得，

，

①若，則，即，

解得：；

②若，則，即，

解得：或；

③若，則，即，

解得：；

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，設(shè)，如圖，設(shè)與軸交于點(diǎn)，

在中，由勾股定理得，

又∵點(diǎn)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，

∴，

∴，

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∴，

∴，

∴當(dāng)，

又∵，

∴取到最小值，

∴當(dāng)的橫坐標(biāo)為時(shí)，的長度的最大值是．