Question

如圖AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C.

（1）若AB＝2，∠P＝30°，求AP的長；

（2）若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線.

 

Answer 1

（1）2 （2）證明見解析

【解析】

（1）【解析】
∵AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，

∴AB⊥AP，∴∠BAP＝90°；

又∵AB＝2，∠P＝30°，

∴AP＝＝＝2，

即AP＝2.

（2）證明：如圖，連接OC，OD、AC.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°（直徑所對的圓周角是直角），∴∠ACP＝90°；

又∵D為AP的中點(diǎn)，

∴AD＝CD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）；

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠OAD＝∠OCD（全等三角形的對應(yīng)角相等）；

又∵AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，

∴AB⊥AP，

∴∠OAD＝90°，

∴∠OCD＝90°，即直線CD是⊙O的切線.