Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于F．

（1）求證：△AEF≌△BEC；

（2）判斷四邊形BCFD是何特殊四邊形，并說出理由；

（3）如圖2，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，HK為折痕，若BC=1，求AH的長．

Answer 1

（1）證明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°．

在等邊△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．

∵E為AB的中點，∴AE=BE．

又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．————————（3分）

（2）在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點，

∴CE=AB，BE=AB．∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四邊形BCFD是平行四邊形．————————（3分）

（3）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，

∴∠CAH=90°．

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=1，

∴AB=2BC=2．

∴AD=AB=2．

設AH=x，則HC=HD=AD﹣AH=2﹣x，

在Rt△ABC中，AC²=2²﹣1²=3，

在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3=（2﹣x）²，

解得x=，即AH=．————————（3分）