Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=15cm，點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)．點(diǎn)P、Q分別從起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)到某一位置時(shí)所需時(shí)間為t秒

當(dāng)t = 4時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)度

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ是等腰三角形？

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ的面積等于16cm2？

（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ∽△ACB

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）由于點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒，而t=4，由此可以用t表示AP、PC、CQ的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理即可求出PQ的長(zhǎng)度；

（2）令PC＝CQ，求t的值.

（3）首先用t分別表示CP，CQ的長(zhǎng)度，然后利用三角形的面積公式即可列出關(guān)于t的方程，解方程即可解決問題；

（4）利用直角三角形的斜邊中點(diǎn)的性質(zhì)可以證明△ABC和△PCQ相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求得t的值.

試題解析：

（1）當(dāng)t=4時(shí)，
∵點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，
∴AP=4cm，PC=AC﹣AP=6cm、CQ=2×4=8cm，
∴PQ= =10cm；

（2）∵AP=t，PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t，

當(dāng)PC＝CQ時(shí)

10-t=2t

t=

（3）∵AP=t，PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t，

∴S△PQC=PC×CQ=t（10﹣t）=16，

∴t1=2，t2=8，當(dāng)t=8時(shí)，CQ=2t=16＞15，

∴舍去，

∴當(dāng)t=2時(shí)，△PQC的面積等于16cm2；

（4）∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，
∴OA=OB=OC（直角三角形斜邊上中線定理），
∴∠A=∠OCA，
而∠OCA+∠QPC=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠QPC，又∠ACB=∠PCQ=90°，
∴△ABC∽△QPC,

∴

∴t=2.5s．